Université Blaise Pascal : L1S1, mathématiques, module A ou B ...

© Emmanuel Royer (Pour Université Blaise Pascal, Département De Mathématiques)

Description

Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Année 2011–2012 Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer

• matrices triangulaires
•   
• matrice carrée d'ordre
• bp 
• condition d'égalité des coefficients
• table des matières table des matières
• matrice
• matrices
• coefficients
• coefficient

Sujets

• mathématiques
• mathématique

Informations

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Extrait

Département de mathématiques et informatique
L1S1, module A ou B
Année 2011–2012
Chapitre 2
Matrices
Emmanuel Royer
[e-mail]. 2 Table des matières
Table des matières
1 Les matrices 3
1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Matrices particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Matrices colonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Matrices lignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.4 Matrices triangulaires inférieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.5 Matrices supérieures . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.6 Matrices diagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.7 Matrices scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.8 Matrice identité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.9 Matrice nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Calcul matriciel 5
2.1 Égalité des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Addition des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Produit d’une matrice par un élément deK . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4.1 Produit d’une matrice ligne par une matrice colonne . . . . . . . 7
2.4.2 Produit matrice par une matrice colonne . . . . . . . . . . 8
2.4.3 Produit d’une matrice par une matrice . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4.4 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.5 Puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.6 Inverse d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.7 Transposée d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Systèmes d’équations linéaires 16
3.1 Remarques générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Résolution des systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Inversion de matrices 25
5 Déterminants 28
5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6 Exercices 40
A Matrices élémentaires 45
A.1 Définition et propriétés élementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
A.2 Mise en échelons des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
A.3 Matrices élémentaires et inversibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
A.4 Systèmes et opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
A.5 Justification de la méthode d’inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
B Déterminants 53
B.1t d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
B.2 Déterminant et transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Référence François Liret & Dominique Martinais, « Cours de mathématiques, Algèbre
re1 année ». Dunod.1 Les matrices p. 3
Avertissement préliminaire. Dans tout ce chapitre, on fixe K l’un des trois corps
Q,R ouC. Ceci signifie que vous pouvez lire le chapitre en remplaçant la lettreK
parR puis le relire en remplaçant la lettreK parC et le relire une troisième fois en
remplaçant la lettreK parQ.
1 Les matrices
1.1) Définition
On appelle matrice à coefficients dansK la donnée :
a) d’un nombrep de colonnes ;
b) d’un nombren de lignes ;
c) d’un ensemble de np coefficients de K rangés dans un tableau de n lignes et p
colonnes.
On numérote les coefficients avec deux indices : le premier indique le numéro de la
ligne (on les numérote du haut vers le bas), le second le numéro de la colonne (on les
enumérote de gauche à droite). Ainsi, le coefficienta est à l’intersection de lai ligneij
eet de la j colonne. On note alors (a ) la matrice. On dit que la matrice est de1inij
1jp
taillenp (lire «n croixp » et respecter l’ordre de lecture).
Exemple 1– Si
0 1
B1 2CB CB CB CB C(a ) = 3 4ij 1i3 B CB C@ A1j2 5 6
alors
a = 1;a = 211 12
a = 3;a = 421 22
a = 5;a = 6:31 32
Exemple 2–
0 1
! 0 1B CB C3 5 7 B CB CB C(i + 2j) = ( i +j) = 1 0 :1i2 1i3 B CB C4 6 8 @ A1j3 1j2 2 1
Notation 3– On note M (K) l’ensemble des matrices de taillenp à coefficients dansn;p
K.p. 4 1 Les matrices
1.2) Matrices particulières
1.2.1 Matrices colonnes
0 1
aB C1B CB CB CBa CB 2CB CB CCe sont les matrices à une colonne : :B : CB C:B C:B CB C@ A
an
1.2.2 Matrices lignes

Ce sont les matrices à une ligne : a a ::: a :1 2 n
1.2.3 Matrices carrées
Ce sont les matrices qui ont même nombres de lignes et de colonnes. Ce nombre
de lignes et de colonnes s’appelle l’ordre de la matrice. Les coefficients ayant même
1 5indice de ligne et de colonne s’appellent les coefficients diagonaux. Par exemple, 3 7
est une matrice carrée d’ordre 2. Les coefficients diagonaux sont 1 et 7.
Notation 4– On note M (K) l’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficientsn
dansK.
1.2.4 Matrices triangulaires inférieures
Ce sont les matrices carrées dont tous les coefficients strictement au dessus de la
diagonale (c’est-à-dire d’indicesij avecj >i) sont nuls. Par exemple :
0 1 0 1 0 1
B1 0 0C B1 0 0C B1 0 0CB C B C B CB C B C B CB C B C B CB C B C B C2 3 0 ; 0 2 0 ; 0 2 0 :B C B C B CB C B C B C@ A @ A @ A
4 5 6 1 0 3 0 0 3
1.2.5 Matrices triangulaires supérieures
Ce sont les matrices carrées dont tous les coefficients strictement au dessous de la
diagonale (c’est-à-dire d’indicesij avecj <i) sont nuls. Par exemple :
1 1 10 0 0
B1 2 3C B1 0 1C B1 0 0CB C B C B CB C B C B CB C B C B CB C B C B C0 4 5 ; 0 2 0 ; 0 2 0 :B C B C B CB C B C B C@ A @ A @ A
0 0 6 0 0 3 0 0 3
1.2.6 Matrices diagonales
Ce sont les matrices carrées à la fois triangulaires supérieures et triangulaires in-
férieures. Les seuls coefficients pouvant être non nuls sont donc ceux de la diagonale.2 Calcul matriciel p. 5
Par exemple :
0 1 101 0 0 0CB CB C 1 0 0CB BC CB BC CB0 2 0 0 BC CB BC CB B; 0 0 0 :B C B CB C B C0 0 3 0B C @ AB C@ A 0 0 0
0 0 0 4
On noter Diag(a ;:::;a ) la matrice diagonale dont les coefficients sont (a ;:::;a ).1 n 1 n
1.2.7 Matrices scalaires
Ce sont les matrices diagonales dont tous les coefficients diagonaux sont égaux.
Par exemple :
10
0 0 0B CB CB CB CB C0 0 0B CB C:B CB C0 0 0B CB C@ A
0 0 0
1.2.8 Matrice identité
C’est la matrice scalaire dont tous les coefficients diagonaux valent 1. On note In
la matrice identité d’ordren. Par exemple :
10
1 0 0 0CB CB CB CB CB0 1 0 0CBB CI = :B C4 B C0 0 1 0B CB C@ A
0 0 0 1
1.2.9 Matrice nulle
C’est la matrice non nécessairement carrée dont tous les coefficients sont nuls. On
la note 0 ou 0 si elle a n lignes et p colonnes, 0 s’il n’y a pas d’ambigüité. Parn;p n p
exemple :
!
0 0 0
0 = :23 0 0 0
2 Calcul matriciel
2.1) Égalité des matrices
Deux matrices A et B sont égales, ce qu’on note A = B si
– elles ont même nombre de lignes ;
– elles ont de colonnes ;
– les coefficients à la même position sont égaux.p. 6 2 Calcul matriciel
Si A = (a ) et B = (b ) , la condition d’égalité des coefficients est :ij 1in ij 1in
1jp 1jp
pour touti dansf1;:::;ng, pour toutj dansf1;:::;pg,a =b .ij ij
Exemple 5–
0 1 0 1
1 + 2 5 3 2 + 3B C B CB C B CB C B CB C B CB C B C3 4 7 = 3 3 :B C B CB C B C@ A @ A
0 1 1 1 1
Exemple 6–
! !
0 0 0 0 0
, :
0 0 0 0 0
2.2) Addition des matrices
Soit A et B deux matrices à coefficients dansK ayant même nombre de lignesn et
même nombre de colonnes p, la somme A + B de A et B est la matrice à n lignes et p
colonnes dont chaque coefficient est somme des coefficients de même position de A et
de B : si A = (a ) et B = (b ) alors A + B = (a +b ) .1in 1in 1inij ij ij ij
1jp 1jp 1jp
Exemple 7–
! ! ! !
1 7 12 14 7 21 1 + 14 7 7 12 + 21 15 0 33
+ = = :
5 3 21 5 13 12 5 + 5 3 + 13 21 + 12 0 16 33
Les règles suivantes résultent des règles équivalentes sur l’addition des éléments
deK.
Proposition 8– Si A, B et C sont trois matrices de M (K).n;p
– L’addition est associative : (A + B) + C = A + (B + C) ;
– la matrice nulle à n lignes et p colonnes est un élément neutre pour l’addition :
A + 0 = A ;
– toute matrice admet un symétrique : en posant A = ( a ) on a1inij
1jp
A + ( A) = 0 ;
– l’addition est commutative : A + B = B + A.
Remarque 9– On note A B la somme de A et du symétrique de B, autrement dit
A B = A + ( B):2 Calcul matriciel p. 7
2.3) Produit d’une matrice par un élément deK
Soi