Universite Joseph Fourier UE MAT Mathematiques annee

Joseph Fourier

Description

Universite Joseph Fourier UE MAT 127 Mathematiques annee 2011-2012 Chapitre 2 Le probleme de l'unicite des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : ? un exemple d'equation differentielle y? = f(y) admettant 2 solutions distinctes pour une meme donnee initiale, ? l'existence et l'unicite de solutions de l'equation de Malthus et de l'equation logistique y? = ay ? by2 ; la resolution explicite de l'equation logistique. ? le theoreme general d'existence et d'unicite pour une equation differentielle y? = f(t, y), lorsque f est assez reguliere. ? l'etude qualitative des solutions de l'equation autonome y? = f(y). ? les isoclines. 1 Le probleme et quelques reponses : 1.1 Un exemple Montrer que l'equation differentielle : y? = 3 ( y2 )1/3 a 2 solutions differentes y¯ : t 7? 0 et y˜ : t 7? t3 correspondant a la meme donnee initiale y¯(0) = y˜(0) = 0 . Faire une representation graphique de ces deux solutions. Y-a-t-il une unique solution y de donnee initiale y(0) = 0 ? 1.2 Unicite dans la loi de Malthus : Etant donnee une constante non nulle a , considerons l'equation differentielle : y? = a y (1) ce qui signifie qu'une fonction y est solution de cette equation differentielle si et seulement si, pour toute valeur t pour laquelle y(t) est definie, y est derivable et verifie y?(t

• condition initiale


• y0 ?


• equation differentielle


• unicite de solutions de l'equation de malthus et de l'equation logistique


• limite finie en temps fini


• probleme de l'unicite des solutions


• resolution explicite de l'equation logistique

Sujets

• maths
• exercice
• cours
• exercices

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• Publié par: profil-urra-2012
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Extrait

Universit´eJosephFourier Mathe´matiques

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Chapitre 2 Leprobl`emedel’unicite´dessolutions

Ce que nous verrons dans ce chapitre :

UE MAT 127 anne´e20112012

′ ◦nuxemeuationdipled’´eqellere´ffitney=f(y) admettant 2 solutions distinctes pour unemˆemedonne´einitiale,

◦´’leauqenoitaMed´eitsodetilusdonitnooligtsqieulthusetdel’´equae’licunl’etceenstxi ′2 y=ay−bypxenoituedeticil;olesr´la.eituqquatl’´eogisionl

′ ◦’utdciniteiseenclarexe’dgeme´ne´rentielliondiff´eene´uqta´tpeuoureloe`rte´hy=f(t, y), lorsquefgu´ezrseassteer.ile`

′ ◦oensssdoliuvteideiqtuaateqlu’a´luuatoetdi’tlneo´onemy=f(y).

◦les isoclines.

Leproble`meetquelquesr´eponses:

1.1 Un exemple Montrerquel’´equationdiffe´rentielle:   1/3 ′2 y= 3y 3 a2solutionsdiffe´rentesy¯ :t7→0 ety˜ :t7→tanndpoesrrcoemodnne´`tlamaeˆeeinitialy¯(0) = yoineuniilunolutquesnoitulostaY.sedquhiapuxdeeseceriarenu)0(F.0=titagronr´epenes˜y dedonne´einitialey?(0) = 0

1.2Unicite´danslaloideMalthus: Etantdonn´eeuneconstantenonnulleae:eillertnffie´oidnatqu´el’nsro´eidsnoc,

′ y=a y

(1)

ce qui signifie qu’une fonctionyetniteslil,epsoideitffs´eeulreemnqeauitnoreudectt´elusoontiste ′ toute valeurtpour laquelley(t,es)e´dteinfiyrifietv´ebleerivasee´dty(t) =a y(t) . a) Soitt7→y(tlusone)uauqe´ettecednoititnoF.xinosonsuuninstantinitial´rede´fecneret 0 et −a(t−t 0 ) posonsz(t) =y(t)e. (i) Montrer queyistulseenem1n)ees(oeetsstiuednoitultauqe´’l´eiffndiollientrezest une ′ solutiondel’´equationdiffe´rentiellezet que= 0 y(ttniopuaeinfi´etdes)tse`dquez(tefinistd´)ee aumeˆmepoint.

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