Developpement decimal Fermat Demi periodes Gauss

Jerome Germoni

Description

Niveau: Elementaire
Developpement decimal (Fermat) Demi-periodes (Gauss) Longueur de la periode (Artin) Miscellanea Developpement decimal de 1/p (d'apres O. Mathieu) Lycee Branly, 14 mars 2007 Jerome Germoni (universite Lyon 1) Lycee Branly, 14 mars 2007 Developpement decimal de 1/p (d'apres O. Mathieu)

• miscellanea esquisse de preuve du theoreme


• conjecture d'artin resultats partiels


• miscellanea


• artin

Sujets

• Mathématiques
• Heuristique

Informations

• Publié par: profil-fool-2012
• Publié le: 01 mars 2007
• Nombre de lectures: 40

Extrait

D´eveloppementde´icam(leFmrta D ) i-emerp´deioGas()ssu gnoLrueualediodep´erin) M (Art llnasiecae 1,m4nayleerByL´clopp´eve007Dars21edlamice´dtnemeat.MsO`epr’a(d/peuhi

De´veloppementde´cimalde1/p (d’apre`sO.Mathieu)

Lyc´eeBranly,14mars2007

)

Je´rˆomeGermoni(universit´eLyon1)

cemilaF(ream)t eD D´eveloppementd´ ugnoL )ss paledrue ri´e-pmiau(Gesod alencslea ode(´erin) Mi Arti cuale1l´+842,i57a’nlfsapdtiatere Uner´epnoes 4 ? iSuJilnaca eppoleve´D7002sr1/dealimecd´ntme ne L !,cirD . no neeu 14manly,eBrayc´ese.OaMht(p’dpa`rieu)

Devinettes

Devinettes 1 ettˆe5elullcdeeraCffiered1-3e`emhc/53. 2 1dereffihceme`-25eleteulerdetˆCalc/53. 3 ullcCade1iffremech-7e`le2eˆttereed/53. 4 Julian additionne deux nombres et trouve 999. Combienderetenuesa-t-ileffectu´ees?

neir )u

Devinettes

htei

Uner´eponse? 4 lianSiJu8+751e24uc´lcalaertdaisfpa’aln,i.eunete Donc,

Devinettes 1 1dereiffchme`e3-e5leteˆtedreluclaC/53 . 2 mech2-`eele5tˆetreedclluaCerffi1ed/53. 3 ered1e`emhcffielet7-e2erultˆdeclaC/53. 4 Julian additionne deux nombres et trouve 999. Combienderetenuesa-t-ileffectue´es?

L ! cye´Bearln,y41mars2007D´evelopemep´dtnmiceedlap(1/apd’esr`MaO. p-e´eDimseG(irdo imald´ecmat)(Ferleve´Dtnemeppo Miscellanea e´padoirrA(e)nit ssau on ) Leuguelrd

doire´paledrueugon ) L ssau(Gesodri enaellaMisc tin)e(Ar ´Dleve eDimp-e´ F(ream)td´ecimaloppement `rse.OaMhtei)u

Devinettes

Devinettes 1 tˆdeelet3-e5me`eclaCreluhcffiered1/53. 2 hceme`-21ederffilculerdetˆetele5aC/53. 3 lcCatˆdeerul1rede2e-7telehcffie`em/53. 4 Julian additionne deux nombres et trouve 999. Combienderetenuesa-t-ileffectue´es?

Unere´ponse? 4 ln,ipa’a42e157+8nete.euiafsredtcalauc´liSuJilna Donc,rien !

poleve´D´dtnemepdealimecapd’p(1/e´BeLcyy,14ranl2007mars

ycLeB´elnar41,ysram7002D´eveloppementd´cemilaed/1(p’dpaMaO.esr`

De´veloppementde´cimal(Fermat) Nombresr´eels Ope´rations D´eveloppementde´cimaldesrationnels Demi-p´eriodes(Gauss) Dichotomie Le (p+ 1)/mechiffre2-`e Longueurdelape´riode(Artin) Digression : nombre de motifs desk/pet longueur minimale Conjecture d’Artin R´esultatspartiels Miscellanea Esquisse de preuve du theoreme de Mathieu ´ ` Heuristique pour la conjecture d’Artin Digression : couper les cheveux en trois ou quatre Calcul exotique de 1/13

u)ieth

1

2

3

4

aesiecllna (Artin) M p´erioderueualed )ssu gnoL deioGas(i-emerp´ ta D )eFmram(le´icentdppemveloD´e

eve´Dmaci´etdenempplo -i´pD ) me mrta(leF s) Lo Gausdes(erio limaci´etdenemppoleve´d nuede`ssoquipbre”“nomstunc:e’bielopssnoes a n ∙∙ +1 a n1 a,a 3 ∙ 2 aa∙∙∙ 0 a 1− a N− a 1−N− aforme x= oite,delevsralrdllmitie´ tare´pO s ve´D snoi mbNo eaan el´esrre trniedA( ecllM ) si urdengueeriolap´ enUpe´r laedrstaoinnleseloppementd´ecim tn´depemlepo´Dved’ap1/p(aldeecimBee´cyL ∙∙∙758241 0720rsma14y,nlraeiht

re´el

)use`raM.O

?

Qu est-ce ’

nombre

qu un ’

ursdvale0,1,ans{,8}9..,. entsq(iu N∈`u ∙ o ∙∙ ) n a n t(Nenutse N−≥ a`etiuse 26∙∙∙, √ 2=1,41421∙3∙∙ 1 , = 7 ,0418275 ioatepnn`aas. E 9) pmex π sel 1,3=9514

’unnombrer´eel? nnle Q s ’use-tecuq taoi´pre le O srse´mbre ea No llanisce oitarsedlamice´dntmepeopelevD´ ns oied(saGme-i´pre Fermat) D ´ecimal( trA( M )nire´pedoiuruelade s)us ngLo ´D7002sreppoleveecd´ntme1/dealimpa`r(p’daMhtse.O

Uner´eponsepossible:c’estun“nombre”quiposs`edeun d´eveloppementd´ecimalillimite´versladroite,delaforme

o`uN∈Net (a n ) n≥−N est unesuiteansdurleva`as{0,1, . . . ,8,9} (quinestationnepasa`9).

x=a −N a −N−1 ∙ ∙ ∙a −1 a 0 ,a 1 a 2 a 3 ∙ ∙ ∙a n a n+1 ∙ ∙ ∙

ieu) 141,6295,∙∙∙1=2 √ 14,43∙21, 1 ∙∙ 0, 7 =418275418275∙∙ L ∙ yc´eeBranly,14ma π s 3= pmelEex ppementdD´evelo

yLnarBee´car4m,1ly´e7D00s2)eu

Exemples

π= 3,141 592 6∙ ∙ ∙, √ 2 = 1,414 213∙ ∙ ∙, 1 7 =0,142 857 142 857∙ ∙ ∙

Unere´ponsepossible:c’estun“nombre”quiposse`deun d´eveloppementde´cimalillimite´versladroite,delaforme

` ouN∈Net (a n ) n≥−N est unesuiteuesradsn`aval{0,1, . . . ,8,9} (qui ne stati `a 9) onne pas .

.MsOhiat

x=a −N a −N−1 ∙ ∙ ∙a −1 a 0 ,a 1 a 2 a 3 ∙ ∙ ∙a n a n+1 ∙ ∙ ∙

entd´eciveloppemd(a’rpe`amdl1ep/ tiAr Mi n) elscnela druepaleire´(edo odes(Gauss) Longu ream)t eDimp-e´ir d´ntmepe(Falimecpoleve´D nounremb-cstu’eqee´r?l mald´ecientdppem uQe’ enslitnosear Op lseer´esbrom a N oleve´D snoitare´

(leFmrtadte´icamloppemenD´eve oNbm naaeecllM ) si rtinde(Aeriolap´edrueugnoL )ssuaGs(deioerp´i-em ) D seasaczfe)il re“P F(tia stnormal. Probl`e qseuottun”morbee e2 √ uoπeuqec-tsE )e!ilfficdiesr`(tme ,y41arlne´BeL ? cy rmalrenonombstun miceedlaemep´dtnevD´opelrsma0720

0,888 888∙ ∙ ∙pas normal,0,123456789 10 11 12 13∙ ∙ ∙oui.

1

2

Onconvientquechoisirunnombrere´elau hasard, c’est choisir chaquechiffreind´ependammentavecuneprobabilite´1/10.

htei)u

Un nombre estnormalsi chaque suite finie de chiffres de longueur`paraapqeeufa´revlcıˆate1nc/10 ` . Exemples :

r`esO.Ma1/p(d’ap e´leerrs retaO s ´p D´ev ions pemeelopmice´dtntarsedlas A elnnio :n´ertpamorbse´reeslonmraux