Liste des sujets de la session

Description

Niveau: Elementaire
5.4 Liste des sujets de la session 2007 5.4.1 Leçons d'algèbre et géométrie 101 Groupes monogènes, groupes cycliques. Exemples. 102 Permutations d'un ensemble fini, groupe symétrique. Applications. 103 Congruences dans Z , anneau Z/nZ . Applications. 104 Nombres premiers. 105 PGCD, PPCM dans Z , théorème de Bézout. Applications. 106 PGCD dans K[X] , où K est un corps commutatif, théorème de Bézout. Applications. 107 Écriture décimale d'un nombre réel ; cas des nombres rationnels. 108 Dimension d'un espace vectoriel admettant une famille génératrice finie. Rang. 109 Formes linéaires, hyperplans, dualité. On se limitera à des espaces vectoriels de dimension finie. Exemples. 110 Endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie, polynômes d'endomorphisme. 111 Changements de bases en algèbre linéaire. Applications. 112 Opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes d'une matrice. Applications. 113 Déterminants. Applications. 116 Homothéties-translations. Applications. 118 Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3. 120 Endomorphismes symétriques d'un espace vectoriel euclidien (dimension finie). Applications. 122 Formes quadratiques sur un espace vectoriel euclidien (dimension finie). Les généralités sur les formes quadratiques seront supposées connues. Applications géométriques. 123 Nombres complexes et géométrie. 125 Isométries du plan affine euclidien, formes réduites. Applications.

• dimension finie


• rang en algèbre linéaire


• dimension


• inégalité de cauchy schwarz


• exemples de calcul


• exemples d'applications du théorème des accroissements finis et de l'inégalité des accroissements finis


• exercices

Sujets

• Analyse
• Algèbre
• Dimensión

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Extrait

5.4 Listedes sujets de la session 2007 5.4.1 Leçonsd’algèbre et géométrie

101Groupes monogènes, groupes cycliques. Exemples. 102Permutations d’un ensemble fini, groupe symétrique. Applications. 103Congruences dansZ, anneauZ/nZ. Applications. 104Nombres premiers. 105PGCD, PPCM dansZ, théorème de Bézout. Applications. 106PGCD dansK[X], oùKest un corps commutatif, théorème de Bézout. Applications. 107Écriture décimale d’un nombre réel; cas des nombres rationnels. 108Dimension d’un espace vectoriel admettant une famille génératrice finie. Rang. 109Formes linéaires, hyperplans, dualité. On se limitera à des espaces vectoriels de dimension finie. Exemples. 110Endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie, polynômes d’endomorphisme. 111Changements de bases en algèbre linéaire. Applications. 112Opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes d’une matrice. Applications. 113Déterminants. Applications. 116Homothétiestranslations. Applications. 118Groupe orthogonal d’un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3. 120Endomorphismes symétriques d’un espace vectoriel euclidien (dimension finie). Applications. 122Formes quadratiques sur un espace vectoriel euclidien (dimension finie). Les généralités sur les formes quadratiques seront supposées connues. Applications géométriques. 123Nombres complexes et géométrie. 125Isométries du plan affine euclidien, formes réduites. Applications. 126Isométries de l’espace affine euclidien de dimension 3, formes réduites. 127Géométrie du triangle. 128Barycentres. Applications. 130Droites et plans dans l’espace. 131Projecteurs et symétries dans un espace affine de dimension finie. 137Cercles et droites dans le plan affine euclidien. 139Cinématique du point : vitesse, accélération. Exemples de mouvements. On pourra se limiter aux mouvements plans. 140Division euclidienne. 142Utilisation de groupes en géométrie. 143Polynômes à une indéterminée à coefficients réels ou complexes. 144Rang en algèbre linéaire. 145Utilisation de transformations en géométrie. 146Coniques. 147Courbes planes paramétrées.

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148Diverses notions d’angle et leurs utilisations. 149Équations et géométrie. 150Matrices symétriques réelles. 151Formes réduites d’endomorphismes. Applications. 154Trigonométrie. 155Systèmes linéaires. 156Valeurs propres.

5.4.2 Leçonsd’analyse et probabilités

201Étude de suites numériques définies par différents types de récurrence. Applications. 202Séries à termes réels positifs. Applications. 203Séries à termes réels ou complexes : convergence absolue, semi–convergence (les résultats relatifs aux séries à termes réels positifs étant supposés connus). 204Espaces vectoriels normés de dimension finie, normes usuelles, équivalence des normes. 205Espaces préhilbertiens : projection orthogonale sur un sousespace de dimension finie. Application à l’approximation des fonctions. n 206Parties compactes deR. Fonctions continues sur une telle partie. Exemples. 207Théorème des valeurs intermédiaires. Applications. 208Théorème du point fixe. Applications. 209Séries de fonctions. Propriétés de la somme, exemples. 210Séries entières. Rayon de convergence. Propriétés de la somme. Exemples. 212; propriétés. Exemples.Série de Fourier d’une fonction périodique 213; fonctions trigonométriques, nombreExponentielle complexeπ. 215Comparaison d’une série et d’une intégrale. Applications. 216Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications. 217Fonctions convexes d’une variable réelle. Applications. 218Différentes formules de Taylor pour une fonction d’une variable réelle. Applications. 219Fonction réciproque d’une fonction définie sur un intervalle. Continuité, dérivabilité. Exemples. 220Méthodes de calcul approché d’une intégrale. Majoration de l’erreur. 221Intégrale impropre d’une fonction continue sur un intervalle deR(l’intégration sur un segment étant supposée connue). Exemples. 222Intégrale d’une fonction numérique continue sur un intervalle compact. Propriétés. 223Intégrales de fonctions dépendant d’un paramètre. Propriétés, exemples et applications. ′′ ′ 224Équations différentielles linéaires d’ordre deux :x+a(t)x+b(t)x=c(t), oùa,b,csont des fonctions continues sur un intervalle deR, à valeurs réelles ou complexes. 225Systèmes différentiels linéaires du premier ordre à coefficients constants; écriture matricielle. Exemples. 1 227Fonctions de plusieurs variables : dérivées partielles, différentiabilité. Fonctions de classeC. Fonctions composées.

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n 228Fonctions différentiables définies sur un ouvert convexe deR. Inégalité des accroissements finis. Applications 229Suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli. Variable aléatoire de loi binomiale. Approximations de cette loi. 230Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples. 231Espérance, variance; loi faible des grands nombres. 232Variables aléatoires possédant une densité. Exemples. 233Approximation d’un nombre réel. Théorie et méthodes. 234Équations différentielles. 235Exponentielles et logarithmes 236Continuité, dérivabilité pour les fonctions d’une variable réelle. 237Intégrales et primitives. 238Le nombreπ. 240Problèmes d’extremums pour une fonction d’une ou plusieurs variables réelles. 241Diverses notions de convergence (on pourra se placer dans des contextes variés). Exemples. 242Suites de nombres réels. 243Fonctions numériques de deux variables réelles; courbes de niveau, gradient. 244Égalités et inégalités (on pourra s’intéresser aux inégalités de CauchySchwarz, de Parseval.. .). 245Équations fonctionnelles. 246. .).Applications de l’analyse au calcul des grandeurs (aires, volumes. 247Limites à l’infini.

5.4.3 Exercicesd’algèbre et géométrie

301Exercices sur les groupes. 302Exercices faisant intervenir les notions de congruence et de divisibilité dansZ. 303Exercices faisant intervenir la division euclidienne. 304Exercices faisant intervenir le théorème de Bézout. 305Exercices faisant intervenir les nombres premiers. 306Exercices faisant intervenir les notions de PGCD et PPCM et mettant en uvre des algorithmes associés. 307Exercices faisant intervenir des dénombrements. 308Exercices faisant intervenir les relations entre coefficients et racines d’un polynôme. 309Exercices faisant intervenir polynômes et fractions rationnelles surRouC. 310Exercices d’algèbre linéaire faisant intervenir les polynômes. 311Exercices faisant intervenir la notion de rang. 312Exercices faisant intervenir des matrices inversibles. 313Exercices faisant intervenir des systèmes linéaires. 314Exercices faisant intervenir des déterminants.

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315Exemples de recherche et d’emploi de vecteurs propres et valeurs propres. 316Exercices faisant intervenir la réduction des endomorphismes. 317Exercices sur les endomorphismes diagonalisables. 318Exercices faisant intervenir des projecteurs ou des symétries. 319Exemples de méthodes et d’algorithmes de calcul en algèbre linéaire. 320Exercices sur les isométries vectorielles dans les espaces euclidiens en dimension 2 et en dimension 3. 321Exercices faisant intervenir la réduction des matrices réelles symétriques. 322Exercices sur les formes quadratiques. 323Exercices de géométrie résolus à l’aide des nombres complexes. 324Exercices faisant intervenir des similitudes planes directes ou indirectes. 325Exercices faisant intervenir des isométries affines en dimension 2 et en dimension 3. 326Exercices faisant intervenir la notion de barycentre. 327Exercices faisant intervenir des applications affines. 329Exercices sur les aires et les volumes. 330Exercices faisant intervenir les angles et les distances en dimension 2 et en dimension 3. 331Exercices sur la cocyclicité. 332Exercices sur les cercles. 333Exercices de géométrie plane faisant intervenir des triangles isométriques ou semblables. 334Exercices sur les coniques. 335Exemples d’étude de courbes planes. 337Exercices sur les propriétés métriques des courbes planes (longueur, courbure.. .). 338Exercices sur les propriétés métriques des courbes de l’espace. 339Exemples d’étude des isométries laissant invariante une partie du plan, une partie de l’espace. 340Exemples de groupes en géométrie. 341Exercices de construction en géométrie plane. 342Exercices de géométrie faisant intervenir le choix d’un repère. 343Exercices de cinématique du point. 345Exercices sur les triangles. 346Exemples de résolution de problèmes modélisés par des graphes.

5.4.4 Exercicesd’analyse et probabilités

401Exemples d’étude de suites de nombres réels ou complexes. 402Exemples d’étude de suites ou de séries divergentes. 403Exemples d’étude de suites définies par une relation de récurrence. 404Exemples d’étude de la convergence de séries numériques. 405Exemples de calcul exact de la somme d’une série numérique. 406; rapidité de convergence ou de divergence.Exemples de comportement asymptotique de suites

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407Exemples d’évaluation asymptotique de restes de séries convergentes, de sommes partielles de séries divergentes. 408Exemples d’étude de séries réelles ou complexes non absolument convergentes. 409Exercices sur les suites de polynômes orthogonaux. 410Comparaison sur des exemples de divers modes de convergence d’une suite ou d’une série de fonctions d’une variable réelle. 411Exemples d’étude de fonctions définies par une série. 412Exemples de développements en série entière. Applications. 413Exemples d’emploi de séries entières ou trigonométriques pour la recherche de solutions d’équations différentielles. 414Exemples de séries de Fourier et de leurs applications. 415Exemples d’applications du théorème des accroissements finis et de l’inégalité des accroissements finis pour une fonction d’une variable réelle. 417Exemples d’approximations de fonctions numériques; utilisations. 418Exemples d’utilisation de développements limités. 419Exemples d’utilisation d’intégrales pour l’étude de suites et de séries. 420Exemples d’utilisation de suites ou de séries pour l’étude d’intégrales. 421Exemples de calcul de l’intégrale d’une fonction continue sur un segment. 422Exemples d’étude d’intégrales impropres. 423Exemples d’utilisation des théorèmes de convergence dominée et de convergence monotone. 425Exemples de calculs d’aires et de volumes. 426Exemples de calculs d’intégrales multiples. 427Exemples d’étude de fonctions définies par une intégrale. 428Exemples de résolution d’équations différentielles scalaires, linéaires ou non linéaires. 429Exemples de résolution de systèmes différentiels linéaires. 430Exemples d’équations différentielles issues des sciences expérimentales ou de l’économie. 431Exemples de recherche d’extremums d’une fonction numérique d’une variable, d’une fonction numérique de deux variables. 432Exemples d’approximations d’un nombre réel. 433Approximations du nombreπ. 434Exemples d’utilisation de changement de variable(s) en analyse. 435Exemples d’étude probabiliste de situations concrètes. 436Exemples de calculs de primitives. 437Exemples de variables aléatoires et applications. 438Exemples de problèmes de dénombrement. 439Exemples de calculs de la norme d’une application linéaire continue. 1 440Exemples de calculs de la longueur d’un arc de classeC. ′ 441Exemples de systèmes différentiels linéairesAYY =à coefficients réels constants en dimension 2. Allure des trajectoires.

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