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Bac S 2004
Antilles - Guyane
´Epreuve de Math´ematiques
Exercice 1 (4 points, commun `a tous les candidats).
1 a = (2a +b )n+1 n n
3On d´efinit les suites (a ) et (b ) par a = 1 et b = 7 etn n 0 0 1 b = (a +2b )n+1 n n
3
→−
Soi D une droite munie d’un rep`ere (O, i ). Pour n ∈ N, on consid`ere les points A et Bn n
d’abscisses respectives a et b .n n
1) Placer les points A , B , A , B , A et B .0 0 1 1 2 2
2) Soit (u ) la suite d´efinie par u =b −a pour toutn∈N. D´emontrer que (u ) est unen n n n n
1
suite g´eom´etrique de raison dont on pr´ecisera le premier terme.
3
Exprimer u en fonction de n.n
´3) Comparer a et b . Etudier le sens de variation des suites (a ) et (b ). Interpr´etern n n n
g´eom´etriquement ces r´esultats.
4) D´emontrer que les suites (a ) et (b ) sont adjacentes.n n
5) Soit (v ) la suite d´efinie par v =a +b pour tout n∈N. D´emontrer que (v ) est unen n n n n
suite constante.
En d´eduire que les segments [A B ] ont tous mˆeme milieu I.n n
6) Justifier que les suites (a ) et (b ) sont convergentes et calculer leur limite. Interpr´etern n
g´eom´etriquement ce r´esultat.
Exercice 2 (7 points, commun `a tous les candidats).
But de l’exercice : approcher ln(1 +a) par un polynˆome de degr´e 5 lorsque a appartient `a
l’intervalle [0;+∞[.
Soit a∈ [0;+∞[.
Z Z k+1a a kdt (t−a)
∗On note I (a) = et pour k∈N , on pose I = dt.0 k(a)
1+t 1+t0 0
1) Calculer I (a) en fonction de a.0
`2) A l’aide d’une int´egration par parties, exprimer I (a) en fonction de a.1
k+1 k+1(−1) a`3) A l’aide d’une int´egration par parties, d´emontrer que I (a) = +I (a)k+1 k
k +1
∗pour tout k∈N .
1 1 1 1
5 4 3 24) Soit P le polynˆome d´efini surR par P(x) = x − x + x − x +x. D´emontrer en
5 4 3 2
calculant I (a), I (a) et I (a) que I (a) = ln(1+a)−P(a).2 3 4 5
Z a
55) Soit J(a) = (t−a) dt. Calculer J(a).
05(t−a)
56) (a) D´emontrer que pour tout t∈ [0,a], > (t−a) .
6(1+t)
(b) D´emontrer que pour tout a∈ [0,+∞[, J(a)6I (a)6 0.5
6a
7) En d´eduire que pour tout a∈ [0,+∞[,|ln(1+a)−P(a)|6 .
6
8) D´eterminer, en justifiant votre r´eponse, un intervalle sur lequel P(a) est une valeur
−3approch´ee de ln(1+a) `a 10 pr`es.
Exercice 3 (4 points, commun `a tous les candidats).
Pour chaque question, une seule r´eponse est exacte. Chaque r´eponse juste rapporte 1 point.
une absence de r´eponse n’est pas sanctionn´ee. Il sera retir´e 0,5 point par r´eponse fausse. On
ne demande pas de justifier. La note finale de l’exercice ne peut ˆetre inf´erieure a` z´ero.p p√ √
On pose z =− 2+ 2+i 2− 2.
21) La forme alg´ebrique de z est :
√ √ √ √ √ √ √
A : 2 2 B : 2 2−2i 2 C : 2+ 2+i(2− 2) D : 2 2+2i 2.
22) z s’´ecrit sous forme exponentielle :
π π 3π −3π
i −i i i
4 4 4 4A : 4e B : 4e C : 4e D : 4e
3) z s’´ecrit sous forme exponentielle :
7π π 5π 3πi i i i
8 8 8 8A : 2e B : 2e C : 2e D : 2e
√ √ √ √
2+ 2 2− 2
4) et sont les cosinus et sinus de :
2 2
7π 5π 3π π
A : B : C : D :
8 8 8 8
Exercice 4 (5 points, candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de sp´ecialit´e).
On consid`ere le t´etra`edre ABCD. On noe I le milieu du segment [AB] et J celui de [CD].
1) (a) SoitG lebarycentredusyst`emedepointspond´er´es{(A,1),(B,1),(C,−1),(D,1)}.1
−−→ −−→
Exprimer IG en fonction de CD . Placer I, J et G sur la figure (voir feuille an-1 1
nexe).
(b) Soit G le barycentre du syst`eme de points pond´er´es{(A,1),(B,1),(D,2)}.2
D´emontrer que G est le milieu du segment [ID]. Placer G .2 2
(c) D´emontrer que IG DJ est un parall´elogramme.1
En d´eduire la position de G par rapport aux opints G et J.2 1
2) Soit m un r´eel.
OnnoteG labarycentredusyst`emedepoinspond´er´es{(A,1),(B,1),(C,m−2),(D,m)}.m
(a) Pr´eciser l’ensemble E des valeurs de m pours lesquelles le barycentre G existe.m
Dans les questions que suivent, on suppose que le r´eel m appartient `a l’ensemble
E.
(b) D´emontrer que G appartient au plan (ICD).m−−−→
(c) D´emontrer que le vecteur mJG est constant.m
(d) En d´eduire l’ensemble F des points G lorsque m d´ecrit l’ensemble E.m
Exercice 4 (5 points, candidats ayant suivi l’enseignement de sp´ecialit´e).
Dans le plan orient´e, on consid`ere un carr´e direct ABCD de centre O. Soit P un point du
segment [BC] distinct deB. On noteQ l’intersection de (AP) avec (CD). La perpendiculaire
Δ `a (AP) passant par A coupe (BC) en R et (CD) en S.
1) Faire une figure.
π
2) Soit r la rotation de centre A et d’angle .
2
(a) Pr´eciser, en justifiant votre r´eponse, l’image de la droite (BC) par la rotation r.
(b) D´eterminer les images de R et de P par r.
(c) Quelle est la nature de chacun des triangles ARQ et APS?
3) On note N le milieu du segment [PS] et M eclui du segment [QR]. Soit s la similitude
π 1
√de centre A, d’angle et de rapport .
4 2
(a) D´eterminer les images respectives de R et de P par s.
(b) Quel est le lieu g´eom´etrique du point N quand P d´ecrit le segment [BC] priv´e de
B?
(c) D´emontrer que les points M, B, N et D sont align´es.Feuille annexe `a joindre avec la copie
A
B D
C
bbbb