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Session 2004
BACCALAUREAT GENERAL
Session 2004
MATHEMATIQUES
Série S
ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
Durée de l’épreuve : 4 heures
Coefficient : 7
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées,
conformément à la réglementation en vigueur.
Du papier millimétré est mis à la disposition du candidat.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le
texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.
La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l’appréciation des
copies.
Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 5 pages numérotées de 1 à 5.
1EXERCICE 1 (4 points )
Commun à tous les candidats

1 a = (2a +b )n+1 n n
3On définit les suites (a ) et (b ) para = 1 etb = 7 et .n n 0 0 1 b = (a +2b )n+1 n n
3
→−
SoitD une droite munie d’un repère(O, i ). Pourn∈N, on considère les pointsA etB d’abscissesn n
respectivesa etb .n n
1) Placer les pointsA ,B ,A ,B ,A etB .0 0 1 1 2 2
2) Soit (u ) la suite définie paru =b −a pour toutn dansN. Démontrer que (u ) est unen n n n n
1
suite géométrique de raison dont on précisera le premier terme.
3
Exprimeru en fonction den.n
3) Comparera etb . Etudier le sens de variation des suites (a ) et (b ).n n n n
Interpréter géométriquement ces résultats.
4) Démontrer que les suites (a ) et (b ) sont adjacentes.n n
5) Soit (v ) la suite définie parv =a +b pour toutn∈N. Démontrer que (v ) est une suiten n n n n
constante.
En déduire que les segments [A B ] ont tous même milieuI.n n
6) Justifier que les suites (a ) et (b ) sont convergentes et calculer leur limite. Interprétern n
géométriquement ce résultat.
2EXERCICE 2 (7 points )
Commun à tous les candidats
But de l’exercice : approcher ln(1+a) par un polynôme de degré 5 lorsquea appartient à l’intervalle
[0;+∞[.
Soita∈ [0;+∞[.
Z Z
a a kdt (t−a)∗On noteI (a) = dt et pourk∈N , on poseI (a) = dt.0 k k+11+t (1+t)0 0
1) CalculerI (a) en fonction dea.0
2) A l’aide d’une intégration par parties, exprimerI (a) en fonction dea.1
k+1 k+1(−1) a
3) A l’aide d’une intégration par parties, démontrer queI (a) = +I (a) pourk+1 k
k +1
∗toutk dansN .
1 1 1 1
5 4 3 24) SoitP le polynôme défini surR parP(x) = x − x + x − x +x. Démontrer en
5 4 3 2
calculantI (a),I (a) etI (a) queI (a) = ln(1+a)−P(a).2 3 4 5
Z a
55) SoitJ(a) = (t−a) dt. CalculerJ(a).
0
5(t−a)
56) (a) Démontrer que pour toutt∈ [0;a], ≥ (t−a) .
6(1+t)
(b) Démontrer que pour touta∈ [0;+∞[,J(a)≤I (a)≤ 0.5
6a
7) En déduire que pour touta∈ [0;+∞[,|ln(1+a)−P(a)|≤ .
6
8) Déterminer, en justifiant votre réponse, un intervalle sur lequelP(a) est une valeur approchée
−3de ln(1+a) à 10 près.
3EXERCICE 3 (4 points )
Commun à tous les candidats
Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Chaque réponse juste rapporte 1 point. Une
absence de réponse n’est pas sanctionnée. Il sera retiré 0,5 point par réponse fausse. On ne demande
pas de justifier. La note finale ne peut être inférieure à zéro.
p p√ √
On posez =− 2+ 2+i 2− 2.
21) La forme algébrique dez est :
√ √ √ √ √ √ √
A : 2 2 B : 2 2−2i 2 C : 2+ 2+i(2− 2) D : 2 2+2i 2.
22)z s’écrit sous forme exponentielle :
π π 3π 3π
i −i i −i
4 4 4 4A : 4e B : 4e C : 4e D : 4e .
3)z s’écrit sous forme exponentielle :
7π π 5π 3πi i i i
8 8 8 8A : 2e B : 2e C : 2e D : 2e .
p p√ √
2+ 2 2− 2
4) et sont les cosinus et sinus de :
2 2
7π 5π 3π π
A : B : C : D : .
8 8 8 8
4EXERCICE 4 (5 points )
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité.
On considère le tétraèdreABCD. On noteI le milieu du segment [AB] etJ celui du segment [CD].
1) (a) SoitG le barycentre du système de points pondérés{(A,1),(B,1),(C,−1),(D,1)}.1
−→ −→
ExprimerIG en fonction deCD. PlacerI,J etG sur la figure (voir feuille annexe).1 1
(b) SoitG le barycentre du système de points pondérés{(A,1),(B,1),(D,2)}.2
Démontrer queG est le milieu du segment [ID]. PlacerG .2 2
(c) Montrer queIG DJ st un parallélogramme. En déduire la position deG par rapport1 2
aux pointsG etJ.1
2) Soitm un réel.
On noteG le barycentre du système de points pondérés{(A,1),(B,1),(C,m−2),(D,m)}.m
(a) Préciser l’ensembleE des valeurs dem pour lesquelles le barycentreG existe.m
Dans les questions qui suivent, on suppose que le réelm appartient à l’ensembleE.
(b) Démontrer queG appartient au plan (ICD).m
−−→
(c) Démontrer que le vecteurmJG est constant.m
(d) En déduire l’ensembleF des pointsG lorsquem décrit l’ensembleE.m
5Feuille à joindre avec la copie
A
B D
C
6
bbbb