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BACCALAUREAT GENERAL (Session 2005) - MATHEMATIQUES Série ES

6 pages
Niveau: Secondaire, Lycée

  • redaction


5MAESOAN1 Session 2005 BACCALAUREAT GENERAL Session 2005 MATHEMATIQUES Série ES ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 5 Ce sujet comporte 6 pages. L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. Le sujet nécessite une feuille de papier millimétré. Le candidat doit traiter les quatre exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Note importante : Dès que le sujet de l'épreuve vous est remis, assurez-vous qu'il est complet, en vérifiant le nombre de pages en votre possession. Si le sujet est incomplet, demandez en immédiatement un nouvel exemplaire aux surveillants d'épreuve. 1

  • document réponse

  • repère orthogonal

  • séries statistiques

  • réponse exacte sans justification

  • équation de la droite de régression

  • enseignement de spécialité

  • feuille de papier millimétré


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5MAESOAN1 Session 2005
BACCALAUREAT GENERAL
Session 2005
MATHEMATIQUES
Série ES
ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
Durée de l’épreuve : 3 heures
Coefficient : 5
Ce sujet comporte 6 pages.
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.
Le sujet nécessite une feuille de papier millimétré.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une
part importante dans l’appréciation des copies.
Note importante :
Dès que le sujet de l’épreuve vous est remis, assurez-vous qu’il est complet, en vérifiant le nombre de
pages en votre possession.
Si le sujet est incomplet, demandez en immédiatement un nouvel exemplaire aux surveillants d’épreuve.
1EXERCICE 1 (3 points )
Commun à tous les candidats
Les deux questions sont indépendantes.
−2Les résultats seront arrondis à10 .
Le gouvernement d’un pays envisage de baisser un impôt de 30% en cinq ans.
1. On suppose que le pourcentage de baisse est le même chaque année.
Vérifier que ce pourcentage de baisse annuel est alors égal à environ6,89 %.
2. La première année, cet impôt baisse de 5 %, la deuxième année la baisse est de 1 % et
la troisième année de 3 %.
a. Quelle est la baisse, en pourcentage, de cet impôt au terme des trois premières années ?
b. Pour atteindre son objectif, quel pourcentage annuel de baisse doit décider ce
gouvernement, en supposant que ce pourcentage est le même sur les deux
dernières années ?
2EXERCICE 2 (5 points )
Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Le tableau suivant donne l’évolution du chiffre d’affaires (C.A.), en millions d’euros, sur la période
1994-2003.
Année 1994 1997 1999 2001 2003
Rangx 1 4 6 8 10i
C.A.y 176 209 284 380 508i
1. Le nuage de pointsM (x,y ) est représenté ci-dessous dans un repère orthogonal. Un ajustementi i i
affine semble-t-il adapté ?
y
M5500
400 M4
300 M3
M2200
M1
100
x2 4 6 8 10
2. On posez = lny .i i
−2a. Calculer, en arrondissant à 10 près, pouri variant de 1 à 5, les valeursz , associées auxi
rangsx du tableau.i
b. Construire le nuage de pointsN (x ;z ) dans le repère orthogonal suivant :i i i
- sur l’axe des abscisses, on placera 0 à l’origine et on choisira 1 cm pour représenter 1 année,
- sur l’axe des ordonnées, on placera 0 à l’origine et on choisira1 cm pour représenter
le nombre0,1.
3. a. Déterminer avec la calculatrice une équation de la droited d’ajustement dez enx obtenue par
−2la méthode des moindres carrés (coefficients arrondis à 10 près).
xb. En déduire une relation entrey etx de la formey =A×k (arrondirA à l’entier près et
−2k à 10 près).
4. a. Tracer la droited dans le même repère que celui du nuage de pointsN .i
b. Donner une estimation, arrondie au millier d’euros, du chiffre d’affaires en 2005.
c. À Partir de quelle année peut-on prévoir que le chiffre d’affaires sera supérieur à 1
milliard d’euros.
3
bbbbbEXERCICE 3 (6 points )
Commun à tous les candidats
Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses proposées est exacte.
L’exercice consiste à cocher cette réponse exacte sans justification.
Barème : Une bonne réponse rapporte 1 point ; une mauvaise réponse enlève 0,5 point. L’absence de
réponse n’apporte ni n’enlève aucun point.
Si le total de points est négatif, la note globale attribuée à l’exercice est 0.
COMPLÉTER LE DOCUMENT RÉPONSE DONNÉ EN ANNEXE
QUESTIONS RÉPONSES
1. Soit une série statistique à deux variables (x;y). Les (6.5;30,575)
valeurs de x sont 1, 2, 5, 7, 11, 13 et une équation de (32,575;6,5)
la droite de régression de y en x par la méthode des (6,5;31,575)
moindres carrés esty = 1,35x+22,8.
Les coordonnées du point moyen sont :
2. (u ) est une suite arithmétique de raison−5. Pour tout entiern,u −u = 5n n+1 n
Laquelle de ces affirmations est exacte u =u +4010 2
u =u +203 7
23. L’égalitéln(x −1) = ln(x−1)+ln(x+1) est vraie Pour toutx de ]−∞;−1[∪]1;+∞[
Pour toutx deR\{−1;1}
Pour toutx de ]1;+∞[
xe −1 1
4. Pour tout nombre réelx, le nombre est égal à : −
xe +2 2
−xe −1
−xe +2
−x1−e
−x1+2e
Z Z
ln3 ln3 x1 e 2
5. On poseI = dx etJ = dx. ln
x xe −1 e −1 3ln2ln2
3
Alors le nombreI−J est égal à ln
2
3
2

ln(0,5)
6. L’ensemble des solutions de l’inéquation S = −∞; x ln(0,98)2
1− ≤ 0,5 est ln(0,5)100 S = ;+∞
ln(0,98)

0,5
S = ln ;+∞
0,98
4EXERCICE 4 (6 points )
Commun à tous les candidats
On a représenté ci-dessous la courbe représentative Γ, dans un repère orthonormal, d’une fonctionf
définie surR. La courbe Γ passe par les pointsA(0;2) etC(−2;0) et la droite (AB) est la tangente
enA à Γ. La tangente à Γ en son pointD d’abscisse−1 est parallèle à l’axe des abscisse.
3D
A
2
1
C B
−3 −2 −1 1 2 3
−1
′1. Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, une représente la fonction dérivéef def et
une autre représente une primitiveF def surR.
Courbe 1 Courbe 2 Courbe 3
4
−4 −2 2 −4 −2 22
−2 −2
−4 −2 2 −4 −4
−6
′Déterminer la courbe associée à la fonctionf et celle qui est associée à la fonctionF .
Vous expliquerez les raisons de votre choix.
′2. a. Déterminer, à l’aide des renseignements fournis par l’énoncé, les valeurs def(0) etf (0).
αxb. On suppose quef(x) est de la formef(x) = (x+K)e oùK etα sont des constantes réelles.
′Calculerf (x), puis traduire les renseignements trouvé à la question précédente par un système
d’équations d’inconnuesK etα.
−xEn déduire quef est définie parf(x) = (x+2)e .
−x3. a. Montrer que la fonctionϕ définie parϕ(x) = (−x−3)e est une primitive def.
b. En déduire la valeur de l’aire, exprimée en unités d’aire, de la surface hachurée.
On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième du résultat.
5Annexe
À rendre avec la copie
Exercice 3
QUESTIONS RÉPONSES
1. Soit une série statistique à deux variables (x;y). Les (6.5;30,575)
valeurs de x sont 1, 2, 5, 7, 11, 13 et une équation de (32,575;6,5)
la droite de régression de y en x par la méthode des
(6,5;31,575)
moindres carrés esty = 1,35x+22,8.
Les coordonnées du point moyen sont :
2. (u ) est une suite arithmétique de raison−5. Pour tout entiern,u −u = 5n n+1 n
Laquelle de ces affirmations est exacte u =u +4010 2
u =u +203 7
23. L’égalitéln(x −1) = ln(x−1)+ln(x+1) est vraie Pour toutx de ]−∞;−1[∪]1;+∞[
Pour toutx deR\{−1;1}
Pour toutx de ]1;+∞[
xe −1 1
4. Pour tout nombre réelx, le nombre est égal à : −
xe +2 2
−xe −1
−xe +2
−x1−e
−x1+2e
Z Zln3 ln3 x1 e 2
5. On poseI = dx etJ = dx. ln
x xe −1 e −1 3ln2 ln2
3
lnAlors le nombreI−J est égal à
2
3
2

ln(0,5)
6. L’ensemble des solutions de l’inéquation S = −∞; x ln(0,98)2 1− ≤ 0,5 est ln(0,5)100 S = ;+∞
ln(0,98)

0,5
S = ln ;+∞
0,98
6

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