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EXERCICE 1
BACCALAUREAT GENERAL Session de juin 2011 MATHEMATIQUES  Série S  Enseignement de Spécialité Pondichéry
Partie I 1. B
2.
3.
4.
A
C
C
1)La fonctionf2est strictement décroissante sur]0,+[et l’axe des ordonnées est asymptote à la courbeC2. Donc limf2(x) = +. x0 2)La fonctionf2est strictement décroissante sur]0,+[et l’axe des ordonnées est asymptote à la courbeC2. Donc limf2(x) =0 x+1 3)On ne peut pas conclure car par exemple les fonctionsx7lnxetx7xont un graphe ayant l’allure deC2, mais x 1 seule la courbe représentative de la fonctionx7xadmet une asymptote oblique. x 4)C2est strictement audessus deC1sur]0, 1[, strictement audessous sur]1,+[et enfin,C1etC2se coupent en leur point d’abscisse1. Donc le tableau de signe def2(x) −f1(x)est :
x f2(x) −f1(x)
0
+
1 0
+
Partie II 1 1) Limite en0.Pour tout réelxde]0,+[,f(x) = (xln(x) +x1). x 1 D’après un théorème de croissances comparées, limxln(x) =0lim. Donc (xln(x)+x1) = −1. D’autre part, lim= +. x x0 x0 x0 x>0 x>0 x>0 Par suite,
limf(x) = −. x0 x>0
1 Limite en0.Pour tout réelxde]0,+[,f(x) =ln(x) +1. x 1 On sait que lim ln(x) = +lim. D’autre part, 1− =1. Par suite, x+x+x
limf(x) = +. x+
2)La fonctionfest dérivable sur]0,+[en tant que somme de fonctions dérivables sur]0,+[et pour tout réelx > 0, 1 1 f(x+) = . 2 x x Donc, la fonctionfest strictement positive sur]0,+[puis la fonctionfest strictement croissante sur]0,+[. On en déduit le tableau de variations de la fonctionf. 1