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EXERCICE 1
BACCALAUREAT GENERAL Session de mars 2011 MATHEMATIQUES  Série S  Enseignement Obligatoire Nouvelle Calédonie
Partie A : restitution organisée de connaissances 1)La fonctionuest dérivable surRet pour tout réelx   b au(x) +b=a×− +b= −b+b=0=u(x). a Donc la fonctionuest une solution de(E)surR. 2)Puisquefetusont dérivables surR,fuest dérivable surRet de plus
fest solution de(E)surRf=af+b ′ ′ f=af+ (uau) (caruest solution de(E)surR) ′ ′fu=afau(fu) =a(fu) fuest solution de l’équation différentielley=aysurR. 3)D’après les questions 1) et 2) et le rappel de l’énoncé,
ax fest solution de(E)surRil existe un réelKtel que pour tout réelx,(fu)(x) =Ke ax il existe un réelKtel que pour tout réelx, f(x) =u(x) +Ke b ax il existe un réelKtel que pour tout réelx, f(x+) = −Ke . a b ax Les solutions surRde l’équation différentielle(E)sont les fonctions de la formex7− +Ke,KR. a
Partie B 1)La fonctionvest dérivable sur[0,+[et solution sur[0,+[de l’équation différentielle10y+y=30ou encore 1 y= −y+3. D’après la partie A, il existe un réelKtel que pour tout réel positift, 10 3 1 1 tt v(t+) = −Ke=30+Ke. 10 10 1/10 De plus, 0 v(0) =030+Ke=0K= −30.   1 1 tt Donc, pour tout réel positift,v(t) =3030e=30 1e. 10 10   1 t Pour tout réelt>0,v(t) =30 1e. 10
2) a)La fonctionvest dérivable sur[0,+[et pour tout réel positift,    11 1 tt v(t) =30− −e=3e. 10 10 10 Pour tout réel positift, on av(t)> 0et donc la fonctionvest strictement croissante sur[0,+[. 1