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Durée : 4 heures
Baccalauréat S Polynésie septembre 2004
Exercice 1 Commun à tous les candidats La courbeCdonnée cidessous est la représentation graphique de la fonctionf définie sur ]0 ;+ ∞[ par :
1 −→ α 0 O0 -1
-2
-3
-4
lnx f(x)= +1x x
1
2
C
3
1. a.Montrer quefest dérivable et que, pour toutxstrictement positif,f(x) est du signe de £ ¡p¢ ¤ N(x)= −2x x1+lnx. b.CalculerN(1) et déterminer le signe deN(x) en distinguant les cas 0< x<1 etx>1. c.En déduire le sens de variation defsur ]0 ;+ ∞[[ et les coordonnées du point deCd’ordonnée maximale. 2.On noteA(α) l’aire, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan grisée sur la figure, oùαdésigne un réel de ]0 ;1[. a.ExprimerA(α) en fonction deα(on pourra utiliser une intégration par parties). b.Calculer la limite deA(α) lorsqueαtend vers 0. Donner une interpreta tion graphique de cette limite. 3.On définit une suite (unson premier terme) paru0élément de [1 ; 2] et : nN lnun pour tout entier natureln,un+1= +1. un a.Démontrer, pour tout réelx; 2], la double inégalité 0élément de [16 lnx 61. x b.Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln,unappartient à [1 ; 2]. 4.En remarquant que, pour tout entier natureln,un+1=f(un)+un, déterminer le sens de variation de la suite (un). st co 5. a.Montrer que la suite (un)nNOn notee nvergente.lsa limite. b.Déterminer la valeur exacte del.