Brevet de technicien supérieur Métropole–Antilles–Guyane
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Description

Niveau: Secondaire, Collège, Troisième
Brevet de technicien supérieur Métropole–Antilles–Guyane session 2010 - groupement B1 Exercice 1 12 points Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. A. Résolution d'une équation différentielle On considère l'équation différentielle (E) : y ?? y = ex ?2x où la fonction inconnue y , de la variable réelle x, est définie et dérivable sur R et y ? désigne sa fonction dérivée. 1. Déterminer les solutions définies sur R de l'équation différentielle (E0) : y ?? y = 0. 2. Soit g la fonction définie sur R par g (x)= xex +2x+2. Démontrer que la fonction g est une solution particulière de l'équation diffé- rentielle (E). 3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E). 4. Déterminer la solution f de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale f (0)= 3. B. Étude d'une fonction Soit f la fonction définie sur R par f (x)= (x+1)ex +2x+2. Sa courbe représentative C est donnée dans un repère orthogonal ci-dessous.

  • bouteille

  • loi normale

  • réponse juste

  • moyenne des contenances en centilitres des bouteilles

  • loi de poisson

  • stock

  • solution particulière de l'équation diffé- rentielle

  • equation différentielle


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Langue Français

Extrait

Exercice 1
Brevet de technicien supérieur Métropole–Antilles–Guyane session 2010  groupement B1
12 points
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
A. Résolution d’une équation différentielle
On considère l’équation différentielle
x (E) :yy=e2x où la fonction inconnuey, de la variable réellex, est définie et dérivable surRety désigne sa fonction dérivée. 1.Déterminer les solutions définies surRde l’équation différentielle
(E0) :yy=0. 2.Soitgla fonction définie surRpar
x g(x)=xe+2x+2.
Démontrer que la fonctiongest une solution particulière de l’équation diffé rentielle (E). 3.En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E). 4.Déterminer la solutionfde l’équation différentielle (E) qui vérifie la condition initialef(0)=3.
B. Étude d’une fonction
Soitfla fonction définie surRpar
x f(x)=(x+1)e+2x+2.
Sa courbe représentativeCest donnée dans un repère orthogonal cidessous.
Brevet de technicien supérieur
y
1 O 1
C
A. P. M. E. P.
x
10 1.Calculer limf(x). x→+∞ 2.Pour cette question, une seule réponse A, B, C est exacte. Indiquer sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. On ne demande aucune justification. La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de ré ponse ne rapporte ni n’enlève de point. La courbeCadmet une asymptote en−∞dont une équation est : Réponse ARéponse BRéponse C y=x+1y=2x+2y=2 3. a.Démontrer que le développement limité, à l’ordre 2, au voisinage de 0, de la fonctionfest : 3 2 2 f(x)=3+4x+x+xε(x) aveclimε(x)=0. x0 2 Pour les question 3. b et 3. c, une seule réponse A, B, C est exacte. Indiquer sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. On ne demande aucune justification. La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. b.Une équation de la tangenteTà la courbeCau point d’abscisse 0 est : Réponse ARéponse BRéponse C 3 2 y=3y=3+4x y=x c.Au voisinage du point d’abscisse 0, la courbeCest : Réponse ARéponse BRéponse C audessus de laaudessous de laaudessous de la tangente T pour touttangente T pour touttangente T quand x.x.x<0 et audessus quandx>0.
Groupe B : bâtiment, travaux publics
2
mai 2010
Brevet de technicien supérieur
A. P. M. E. P.
Calcul intégral Z 1 1.On noteI=(2x+2) dx. 1 Montrer queI=4. Z 1 x 2.On noteJ=(x+1)e dx. 1 1 Démontrer à l’aide d’une intégration par parties queJ=e+e . Z 1 3. a.On noteK=f(x) dx, oùfest la fonction définie dans la partie B. 1 Déduire de ce qui précède la valeur exacte deK. 2 b.Donner la valeur deK, arrondie à 10. c.On admet que pour toutxde l’intervalle [1 ; 1],f(x)>0. Donner une interprétation graphique de K.
Exercice 2
8 points
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. Dans une usine de conditionnement, une machine remplit à la chaîne des bouteilles d’un certain liquide. A. Loi binomiale et loi de Poisson 3 Dans cette partie, les résultats approchés sont à arrondir à 10. On noteEl’évènement « une bouteille prélevée au hasard dans un stock important est non conforme au cahier des charges ». On suppose que la probabilité deE02.est 0, On prélève au hasard 30 bouteilles dans le stock pour vérification. On suppose que le stock est suffisamment important pour qu’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On considère la variable aléatoireXqui, à chaque prélèvement de 30 bouteilles, associe le nombre de bouteilles non conformes. 1. a.Justifier que la variable aléatoireXsuit une loi binomiale dont on déter minera les paramètres. b.CalculerP(X61). 2.On considère que la loi de probabilité suivie par la variable aléatoireXpeut être approchée par une loi de Poisson. Déterminer le paramètreλde cette loi de Poisson. On désigne parYune variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre λ, oùλa la valeur obtenue au a. En utilisant cette variable aléatoire, calculer la probabilité que dans un tel pré lèvement de 30 bouteilles, au plus une bouteille soit non conforme. 2 Dans ce qui suit, les résultats approchés sont à arrondir à10. B. Loi normale Dans cette partie, on considère une grande quantité de bouteilles devant être livrées à des clients. On noteZla variable aléatoire qui, à une bouteille prélevée au hasard dans cette livraison, associe sa contenance en centilitres. On suppose queZsuit la loi normale de moyenne 70 et d’écart type 1. 1.CalculerP(686Z672). 2.Déterminer le nombre réelhpositif tel queP(70h6Z670+h)=0, 99.
Groupe B : bâtiment, travaux publics
3
mai 2010
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