Brevet de technicien supérieur novembre groupement A Nouvelle Calédonie

Description

Niveau: Secondaire, Collège, Troisième
Brevet de technicien supérieur novembre 2008 - groupement A Nouvelle-Calédonie Exercice 1 12 points On désigne par ? un nombre réel positif tel que 0

• transformationde laplace aux deuxmembres de l'équa- tion


• a2 cos


• solution générale de l'équation


• solution de l'équation différentielle


• laplace


• b1 sin

Sujets

• Laplace

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 novembre 2008
• Nombre de lectures: 140
• Langue: Français

Extrait

Brevet de technicien supérieur novembre 2008  groupement A NouvelleCalédonie

Exercice 112 points π On désigne parαun nombre réel positif tel que 0<α<. 2 On considère la fonctionfdéfinie surR, paire, périodique de période 2π, telle que :  f(t)=1 si0 6 t 6 α  f(t)=0 siα<t<π−α  f(t)= −1 siπ−α 6 t 6 π π 1. Danscette question, le nombre réelαvaut . 3 Dans un repère orthogonal, représenter graphiquement la fonctionfsur l’in tervalle [−2π; 2π]. 2.On appelleSla série de Fourier associée à la fonctionf +∞ X On noteS(t)=a 0 + ( a n cos(n t)+b n sin(n t)). n=1 Le but de cette question est de calculer les coefficients de la série de FourierS π pour une valeurxquelconque du nombre réelαtel que 0<α<. 2 a.Calculera 0 , valeur moyenne de la fonctionfsur une période. b.Déterminerb n ,ndésignant un nombre entier naturel strictement posi tif. c.Montrer que, pour tout nombre entier naturelnstrictement positif, on a :

2 £ ¤ n a n =1−(−1) sin(nα). nπ 3.Déterminer la valeurα 0 deαpour laquelle ona 3 =0. π 4. Pourtoute la suite de l’exercice, on se place dans le cas oùα=. 3 Rappels : Sihdésigne une fonction périodique de périodeT, le carré de la valeur effi caceHde la fonctionhsur une période est : Z r+T 1 2 2 H=[h(t)] dt. T r rdésignant un nombre réel quelconque. Si les coefficients de Fourier de la fonctionhsonta 0 ,a n etb n alors : Z r+T +∞ 2 2 X 1 a+b 2 2 n n [h(t)] dt=a+formule de Parseval 0 T r 2 n=1 2 a.CalculerF, carré de la valeur efficace de la fonctionfsur une période. b.On définit surRla fonctiongpar :

g(t)=a 0 +a 1 cos(t)+b 1 sint+a 2 cos(2t)+b 2 sin(2t).

2 3 Montrer queg(t)=cos(t) pour tout nombre réelt. π 2 c.CalculerG, carré de la valeur efficace de la fonctiongsur une période.

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A. P. M. E. P.

2 G −3 d..près du quotientDonner une valeur approchée à 10 2 F Ce dernier résultat montre que la fonction gconstitue une assez bonne approximation de la fonction f .

Exercice 210 points On s’intéresse à un système entréesortie. Dans les parties A et B, on étudie la réponse de ce système à deu x entrées différentes. Les parties A et B sont indépendantes dans leurs résolutions respectives. Partie A On considère l’équation différentielle (E 1 ) suivante : y"(t)+4y(t)=8 (E 1 ) oùydésigne une fonction dérivable de la variable réellet. 1. a.Donner la solution particulière constante de l’équation différentielle ( E 1 ). b.Déterminer la solution générale de l’équation (E 1 ). 2. a.Montrer que la fonctionf, solution de l’équation différentielle (E 1 ) et qui ′ vérifief(0)=0 etf(0)=0 est définie surRpar :

f(t)=2[1−cos(2t)].

b.La fonctionfest périodique. En donner une période. Préciser, sans justification, le maximum et le minimum de la fonctionf. c.Représenter la fonctionfsur l’intervalle [0 ; 2π].

Partie B On rappelle que la fonction échelon unitéUest définie par : ½ U(t)=0 sit<0 U(I)=1 sit > 0 Une fonction définie surRest dite causale si elle est nulle sur l’intervalle ]− ∞; 0[. On considère la fonctionedéfinie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par : · µ¶¸ ³ ´ π3π e(t)=8U(t)−U t− +U(t−π)−U t− 2 2 ′ On considère la fonction causalegqui vérifie les conditionsg(0)=0 etg(0)=0, ainsi que la relation (E 2 ) suivante :

y"(t)+4y(t)=e(t) (E 2 ) On admet que la fonctiongpossède une transformée de Laplace notéeG. 1. a.Représenter la fonctionesur l’intervalle [0; 2π]. b.On appelleEla transformée de Laplace de la fonctione. DéterminerE(p). 2. a.En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l’équa tion (E 2 ), montrer que : ³ ´ 8 π3π −p−pπ−p G(p)= ¡ ¢ 1−e+e−e . 2 2 2 p p+4

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A. P. M. E. P.

b.Vérifier que la fonctionhdéfinie surRparh(t)=2[1−cos(2t)]U(t) a pour transformée de Laplace la fonctionHdéfinie par 8 H(p)= ¡ ¢ . 2 p p+4 c.Donner une expression de la fonctiong, en utilisant éventuellement la fonctionh. · · h h π3π 3. a.On donne les expressions deg(t) sur les intervalles;πet ;+∞: 2 2  h h π   g(t)= −4 cos(2t) sit∈;π 2 · · 3π   g(t)= −8 cos(2t) sit∈;+∞ 2 h h π Donner des expressions similaires deg(tet0 ;) pour les intervalles 2 · · 3π π; . 2 b.On a représenté surl’annexe, à rendre avec la copiela fonctiongsur les · · h h π3π intervalles ;πet ;+∞. 2 2 Compléter le graphique en traçant la représentation graphique degsur · · h h π3π les intervalles0 ;etπ; . 2 2

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9 8 7 6 5 4 3 2 1

−1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10

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Annexe

à rendre avec la copie

π 2

4

π

3π 2

2π

A. P. M. E. P.

t

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