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cA vos cours 2001
Recrutementdeprofesseurscerti´es etconcoursdacc`es`adeslistesdaptitude CAFEP/CAPES SESSION 2001
Concours EXTERNE DEUXIEME COMPOSITION DE MATHEMATIQUES
(Dure´e:5heures)
Lusagedelacalculatricedepocheestautoris´ee-ycomprisprogrammable,alphanume´riqueou `a´ecrangraphique-,a`fonctionnementautonome,nonimprimante,autorise´econforme´menta`la circulairen99-186 du 16 novembre 1999.
Toutdocumentettoutautremat´eriel´electroniquesontinterdits.
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Laqualit´edelare´daction,laclarte´etlapre´cisiondesraisonnementsinterviendrontpourunepart importantedanslappr´eciationdescopies.Lesre´sultatsindiqu´esdansl´enonc´epeuventˆetreutilis´es parlescandidatspourlasuiteduprobl`eme. Lescandidatsdoiventreportersurleurcopie,devantleursre´ponses,lanum´erotationcomple`tedes questionsdele´nonc´e. Si,aucoursdele´preuve,uncandidatrep`erecequiluisembleeˆtreuneerreurd´enonc´e,illesignale danssacopieetpoursuitsacompositionenindiquantlesinitiativesquilestamene´`aprendredece fait.
Notationsetobjectifsduprobl`eme
Danstoutleprobl`emeonnote: Nl’ensemble des entiers naturels; Nl’ensemble des entiers naturels non nuls; Zl’ensemble des entiers relatifs; Ksirespuqcnroupsorecslurjoouatslee´rsedRou le corps des complexesC;
Pourtoutcouplede´le´mentspetqdeNtels quepueore´irlaa`´ugeesnftiq, on note :
[p, q] ={m;mN|pm et mq}
etpourtoute´l´ementkdeNon notekNl’ensemble des multiples deksoit :
kN={mN| ∃nN, m=kn}.
On note :S(K´dsetiussedelbmseenl)sdementel´eK. Une suiteu= (un)nN(s,pareofraonsiee´tun). On rappelle queS(K) est muni d’une structure d’espace vectoriel surKsdleurpoerp´xoeusntaoi suivantes : u= (un),v= (vn),λK, u+v= (un+vn)et λu= (λun) Onditquun´ele´mentudeS(Kstxieuedqursleixtelin´ea´ecurreneredxuolrideodrretiusenutse) e´le´mentsaetbdeNtels que :nN, un+2=aun+1+bun(1) Si une suite (un)nNbtseeneinetnxeud´eige`paraitdrruna1g,larelation(1)ntdesnquien´e que pourndansN.