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Capesext premiere composition de mathematiques 2006 capes maths capes de mathematiques

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1 Presentation´ du jeu.1.1 Les regles` du jeu.Le tournoi est un jeu comportant une suite de manches (appelees´ duels) opposantdeux joueurs, jamais plus. Les joueurs vont entrer en jeu successivement, tant qu’aucun d’entreeux n’aura et´ e´ declar´ e´ vainqueur, et forment ainsi une suite (J ,J ,...) aussi longue qu’il faudra,0 1ce qui nous conduit a` considerer´ une suite infinie de joueurs notee´ (J ) .n n∈NLe premier duel oppose J et J , le vainqueur reste en jeu et se voit opposer J qui entre pour le0 1 2deuxieme` duel. Plus gen´ eralement,´ len i eme` duel (n≥2) oppose le joueurJ , qui entre alors ennjeu, au vainqueur du duel prec´ edent,´ le perdant quittant le jeu.On convient enfin que le premier joueur qui remporte N duels, necessairement´ consecutifs,´ estdeclar´ e´ vainqueur et que le jeu prend fin. N est un entier fixe´ a` l’avance, au moins eg´ al a` 2, etvalable pour tout le deroulement´ du tournoi.Lebutdeceprobleme` estderendrecomptedecetypedejeuenenproposantdiversesmodelisations´probabilistes. On s’interessera´ ainsi plus particulierement` a` la duree´ du jeu, c’est a dire` au nom bre de duels ayant eu lieu avant la proclamation du vainqueur.1.2 Les regles` communes aux differ´ entes modelisations´ aleatoir´ es.La succession des duels en parfaitement decrite´ si on connait, pour chacun, les numeros´ desparticipants et le numero´ du gagnant, cela tant que le jeu continue, c’est a dire` tant qu’aucundes joueurs n’a et´ e´ declar´ e´ vainqueur ...
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1Pr´esentationdujeu. 1.1 Lesre`gles du jeu. Letournoiest un jeu comportant une suite de manches (appele´esduels) opposant deux joueurs, jamais plus.Les joueurs vont entrer en jeu successivement, tant qu’aucun d’entre euxnaurae´te´d´eclare´vainqueur,etformentainsiunesuite(J0,J1, . . .) aussi longue qu’il faudra, infinie de joueurs n) cequinousconduit`aconsid´ererunesuiteote´e(Jn nN. Le premier duel opposeJ0etJ1, le vainqueur reste en jeu et se voit opposerJ2qui entre pour le deuxi`emeduel.Plusg´ene´ralement,lenie`me duel (n2) oppose le joueurJn, qui entre alors en jeu,auvainqueurduduelpr´ece´dent,leperdantquittantlejeu. On convient enfin que le premier joueur qui remporteNdus,elecn´saesmerictne´snotucesetfi,s de´clare´ vainqueur et que le jeu prend fin.Nutseaale`x´rientneomni´sgeavcn,euaal`a2,et valable pour tout le de´roulement du tournoi. Lebutdeceproble`meestderendrecomptedecetypedejeuenenproposantdiversesmod´elisations probabilistes.Onsint´eresseraainsiplusparticulie`rementa`ladure´edujeu,cesta`direaunombre de duels ayant eu lieu avant la proclamation du vainqueur.
1.2Lesre`glescommunesauxdiff´erentesmod´elisationsal´eatoires. Lasuccessiondesduelsenparfaitementd´ecritesionconnait,pourchacun,lesnum´erosdes participantsetlenum´erodugagnant,celatantquelejeucontinue,cesta`diretantquaucun desjoueursnae´t´ed´eclar´evainqueur.Onsupposeraquechaqueduelestunjeudehasard,on conside`rera ainsi lenreoiat´erpueevlamoemnue´emeduelci`En, dont on observera les re´sultats possibles. Onpr´esupposera,sanscherchera`lexpliciter,lexistencedunespacedeprobabilit´e(Ω,A,P) permettantdemode´liserlejeuetonsattachera`ade´crireluniversdespossibles,cest`adireles issuesdesdiffe´rentese´preuves,ainsiquelamani`eredontonaffectedesprobabilite´sauxre´sultats observ´es.Lesmod`elespropos´esdevrontrespecterlesre`glessuivantes: 1.Lepremierduel:laprobabilit´equelere´sultatdeE1soit 1 (J1est le gagnant du premier duel) estpu`o,pest un e´le´ment de]0,1[lbe`peoruoltnatsx´edctnateva0ltsu´eat,lme´eer laprobabilit´e(1p). 2. Lesduels successifs : (a) Pourn2, l’e´preuveEn, si elle a lieu, ne depend de celles qui l’on pre´ce´de´es que parlenum´erodujoueuroppos´e`aJni.quiaremport´eleduelpr´ec´e(deenctu)l ultat estnt´eg`o)eus( ) (b)Laprobabilit´epourJnde remporter ce duel (le re´sale a`pn,pk k2 est une suite d’e´le´ments de]0,1[e´etantvstoppos´qriuuleil,jeuouecevaenuqniarueu probabilite´ 1pn. On admettra par ailleurs que, pour toute suite(An)ntoitdsetlon´earoinunsjditsenemenv´´ed nN estdeprobabilit´e1,ilexisteunevariableal´eatoireX`asnasdurlevaNve´rifiant : nN,P[X=n] =P(An)
2 Pre´liminaires. Onseproposeicided´emontrerdiversre´sultatsquipourrontˆetreutilis´esdanslasuiteduprobl`eme. 1
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