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Capesexternedemath´ematiques:session2007 Premi`erecomposition
INTRODUCTION Lobjetduprobl`emeestl´etudedelasuite(sn)n1´dr:apeine n 1 n1, sn= 2 k k=1 Dansunepremi`erepartie,nousnousattacherons`ad´emontrer,dedi´erentesfac¸ons, pardesme´thodese´l´ementaires,quecettesuiteconverge.Lesparties2,3et4suivantes serontconsacr´ees`alad´eterminationdesalimiteSpar divers moyens. Les parties 5 et 6 utiliseront la valeur deSsolaedmmlccaerulruopques.snum´erise´sreeicereatni On rappelle que, pour tous entiersm,n´evtniramn, on note[m, n]l’intervalle d’entiers [m, n]={pZ|mpn} ` PREMIERE PARTIE : Convergence de la suite Dans cette partie, le candidat utilisera uniquement les connaissances faisant partie du programme de Terminale S. 1.ere`imerPdehoetm´ a)opruotturtreuq,eonemD´entierk2 ,on a la majoration 1 11 ≤ − 2 k k1k b)ueidads´erleuqiu(Entesn)n1ojamtse.ee´r c)ti(eDntre´emolasurquesn)n1converge et donner un majorant de sa limite. Danstoutelasuiteduproble`me,onnoteraScette limite. 2.th´eememi`uxDedoe Onconside`relasuite(tn)n1,d:´inerape 1 n1, tn=sn+ n a)emD´tronustise(reuqlesesn)n1et (tn)n1sont adjacentes. 1 b)Donner, en le justifiant, un encadrement d’amplitude10 deS. 3.`emeoisiTrohed´mte EcrireletextedunexercicedeniveauterminaleSde´montrant,parcomparaison`a uneinte´grale,laconvergencedelasuite(sn)n1. 1