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CCMP 2004 mathematiques ii classe prepa psi

4 pages
A 2004 Math PSI 2 ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.ECOLE POLYTECHNIQUE (Filiere TSI).CONCOURS D’ADMISSION 2004 SECONDE EPREUVE DE MATHEMATIQUESFiliere PSI(Duree de l’epreuve : 3 heures)(L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).Sujet mis a la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP.Les candidats sont pries de mentionner de fa con apparente sur la premiere page de la copie :MATHEMATIQUES 2-Filiere PSI.Cet enonce comporte 4 pages de texte.Si, au cours de l’epreuve, un candidat repere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’enonce, il le signalesur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amene a prendre.Le but de ce probleme est l’etude de deux suites reelles F = (f ) et G = (g ) et des seriesn nn∈N n∈Nn nentieres de termes generaux (f x ) et (g x ) .n nn∈N n∈NSoient F = (f ) et G = (g ) les deux suites reelles denies chacune par leurs deux premiersn nn∈N n∈Nelements et la mˆeme relation de recurrence ci-dessous :F : f = 0, f = 1, pour tout entier naturel n, f =f +f ;0 1 n+2 n+1 nG : g = 2, g = 1, pour tout entier naturel n, g =g +g .0 1 n+2 n+1 nSoit M l’espace vectoriel des matrices carrees reelles ...
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A 2004 Math PSI 2
´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Fili`ereTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2004
´ ´ SECONDE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Filie`rePSI (Dure´edele´preuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujetmis`aladispositiondesconcours:CycleInternational,ENSTIM,INT,TPE-EIVP.
Lescandidatssontpri´esdementionnerdefac¸onapparentesurlapremi`erepagedelacopie: ´ MATHEMATIQUES2-Filie`rePSI.
Cet´enonce´comporte4pagesdetexte.
Si,aucoursdele´preuve,uncandidatrep`erecequiluisembleˆetreuneerreurd´enonc´e,illesignale sursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilestamen´e`aprendre.
Lebutdeceproble`meestl´etudededeuxsuitesre´ellesF= (fn) etG= (gn)edtse´sreeis nNnN n n entie`resdetermesge´n´eraux(fnx) et(gnx) . nNnN
SoientF= (fn) etG= (gneuxpremiearrsleursdhccanupe´deinseeer´esllsuuxesitledse) nNnN ´el´ementsetlameˆmerelationdere´currenceci-dessous:
F:f0= 0, f1= 1,pour tout entier natureln, fn+2=fn+1+fn; G:g0= 2, g1= 1,pour tout entier natureln, gn+2=gn+1+gn. SoitM2llse´reerd2edroent;soilesecaptceveirosedltrmaesicrrcaes´eIee´tinuettriclamaJla matricecarr´eede´niesparlesrelationssuivantes:    1 00 5/2 50 1 I= ;J= =. 0 15/02 02 1 Pour tout entier natureln,soitUnrtamaltn:eiuavoisnletarlariepa´eniced 1 Un=fnJ+gnI. 2   1 SoientUla matriceU1U=U1=J+IetEle sous-espace vectoriel deM2sdlearepxeu´rdnegne 2 matricesIetJ.
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