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A 2004 Math PSI 2
´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Fili`ereTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2004
´ ´ SECONDE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Filie`rePSI (Dure´edele´preuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujetmis`aladispositiondesconcours:CycleInternational,ENSTIM,INT,TPE-EIVP.
Lescandidatssontpri´esdementionnerdefac¸onapparentesurlapremi`erepagedelacopie: ´ MATHEMATIQUES2-Filie`rePSI.
Cet´enonce´comporte4pagesdetexte.
Si,aucoursdele´preuve,uncandidatrep`erecequiluisembleˆetreuneerreurd´enonc´e,illesignale sursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilestamen´e`aprendre.
Lebutdeceproble`meestl´etudededeuxsuitesre´ellesF= (fn) etG= (gn)edtse´sreeis nNnN n n entie`resdetermesge´n´eraux(fnx) et(gnx) . nNnN
SoientF= (fn) etG= (gneuxpremiearrsleursdhccanupe´deinseeer´esllsuuxesitledse) nNnN ´el´ementsetlameˆmerelationdere´currenceci-dessous:
F:f0= 0, f1= 1,pour tout entier natureln, fn+2=fn+1+fn; G:g0= 2, g1= 1,pour tout entier natureln, gn+2=gn+1+gn. SoitM2llse´reerd2edroent;soilesecaptceveirosedltrmaesicrrcaes´eIee´tinuettriclamaJla matricecarr´eede´niesparlesrelationssuivantes:    1 00 5/2 50 1 I= ;J= =. 0 15/02 02 1 Pour tout entier natureln,soitUnrtamaltn:eiuavoisnletarlariepa´eniced 1 Un=fnJ+gnI. 2   1 SoientUla matriceU1U=U1=J+IetEle sous-espace vectoriel deM2sdlearepxeu´rdnegne 2 matricesIetJ.
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