Concours 1er année HEM math

Description

Concours d'accès en 1er année du Programme Grande Ecole Examen Type Epreuve de Math matiques Générales Durée : 2 heures Questionnaire (6 points) Ce questionnaire comprend 10 questions ? choix multiples, chaque question ayant 5 propositions de réponse dont une seulement est juste. 21. La forme d?velopp?e de 2(x-1) est (entourez la bonne réponse) : 2 2 2 2 22x – 2 4x - 8x + 4 2x – 4x + 2 4x – 4 2x – 4x + 4 2. f est une fonction d?finie sur R telle que :  f est paire  f est croissante sur [0 ; +∞  f(3) = 4 Peut-on en conclure que (entourez la bonne r?ponse) : a) f est d?croissante sur ]-∞ ; 0] et f(-3) = -4 b) f est sur ]-∞ ; 0] et f(-3) = 4 c) f est croissante sur ]-∞ ; 0] et f(-3) = 4 d) f est sur ]-∞ ; 0] et f(-3) = -4 e) f est d?croissante sur sur ]-∞ ; 0] et f(-3) = -3 3. Consid?rons la fonction f d?finie sur ]0 ; +∞ par f(x) = xln(a) – aln(x) a ?tant un nombre r?el strictement positif. Soit f ’ la fonction d?riv?e de f sur ]0 ; +∞ Quelle est l?expression juste de f ‘ (entourez la bonne r?ponse) : a) f?(x) = ln(a) – aln(x ) x b) f?(x) = xln(a) – a a c) f?(x) = ln(a) - x a d) f?(x) = - ln(x) x e) f?(x) = ln(a) – ln(x) 24. Consid?rons l??quation x – ax + b = 0 avec a et b nombres r?els quelconques. Notons par X et X les deux racines de cette ?quation. Quelle est la proposition juste (entourez la 1 2 bonne r?

Informations

• Publié par: midouxi
• Publié le: 06 juillet 2012
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• Langue: Français

Extrait

re Concours d’accs en 1anne du Programme Grande Ecole Examen Type Epreuve de Mathmatiques Gnrales Dure : 2 heures Questionnaire (6points) Ce questionnaire comprend 10 questions  choix multiples, chaque question ayant 5 propositions de rponse dont une seulement est juste. 2 1.La forme dveloppe de 2(x-1)est (entourez la bonne rponse) : 2x4x– 2- 8x + 42x– 4x + 24x –4 2x– 4x + 4 2. fest une fonction dfinie sur R telle que : f est paire f est croissante sur [0 ; +∞[ f(3) = 4 Peut-on en conclure que (entourez la bonne rponse) : a) fest dcroissante sur ]-∞ ; 0]et f(-3)= -4 b) fest dcroissante sur ]-∞ ; 0]et f(-3)= 4 c) fest croissante sur ]-∞ ; 0]et f(-3)= 4 d) fest croissante sur ]-∞ ; 0]et f(-3)= -4 e) fest dcroissante sur sur ]-∞ ; 0]et f(-3)= -3 3. Considronsla fonction f dfinie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = xln(a) –aln(x)atant un nombre rel strictement positif. Soit f ’ la fonction drive de f sur ]0; +∞[. Quelle est l’expression juste de f ‘ (entourez la bonne rponse) : a)f’(x) = ln(a) –aln(x ) x b)f’(x) = xln(a) – a a c)ln(a) -f’(x) = a d)f’(x) =- ln(x) e)f’(x) = ln(a) – ln(x) 2 4. Considronsl’quation xNotons par– ax + b = 0 avec a et b nombres rels quelconques. X 1 et X 2 les deux racines de cette quation. Quelle est la proposition juste (entourez la bonne rponse) : a) X 1 + X 2 = aet X 1 X 2 = b b) X 1 + X 2 et X= a 1 X 2 = -b c) X 1 + X 2 = -aet X 1 X 2 = -b

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d) X 1 + X 2 = -aet X 1 X 2 = b e) X 1 + X 2 = a +bet X 1 X 2 = ab 1 1 1 5. Lasomme S n = ++… +correspond (entourez la bonne rponse) : 1.2 2.3n(n1) n a) S n = n1 n1 b) S n = n2 n c) S n = (n1)(n2) 2 n d) S n = 2 n1 1 e) S n = 2 n1 6. Notonspar A l’ensemble de nombres naturels pouvant s’crire sous la forme 4p+5qavec petqnombres naturels. Quelle est la proposition juste (entourez la bonne rponse) : a)A15 n’appartient pas  l’ensemble b)A14 n’appartient pas  l’ensemble c)A13 n’appartient pas  l’ensemble d)A12 n’appartient pas  l’ensemble e)11 n’appartient pas  l’ensembleA 2 7. Soitf une fonction relle dfinie par f(x) = |x– x| pour x rel. Quelle est la proposition juste (entourez la bonne rponse) : a) f(-3)= f(3) b) Soitx n = f(1).f(2)…f(n) pour nN. Alors f(2004)=1 c) Lafonction f est continue sur R d) Lafonction f est drivable sur R e) Lafonction f est convexe sur l’intervalle ]0 ; 1[ 8.(u n ) n≥1 dsigne une suite arithmtique de raisonaet de terme initialu 1. Siu 1 = 5 et quea= – 2 alorsu 8 = -11 -919 9 11 9. (u n ) n≥1 dsigne une suite gomtrique de raisonaet de terme initial u 0. Si u 0 =1/2 et que u 1 = 4alorsa= 2 4 816 32 10. Soit f la fonction relle dfinie sur ]0 ; +: f(x) = ln(x). Une primitive de f[ par est (entourez la bonne rponse) : a)F(x) = xln(x) – x 1 b)F(x) = c)F(x) = xln(x) + x x d)F(x) = ln(x)

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e)F(x) = x + ln(x)

Exercice 1(3 points)

3 2 On dsigne par P le polynme dfini par :P(x)xx14x24 1) CalculerP(2) 2) Endduire les solutions de l’quationP(x) = 0 3) Rsoudredans IR l’inquation :P(x) < 0

Exercice 2(3 points)

Une entreprise emploie actuellement 14 femmes et 35 hommes. Elle souhaite recruter autant d’hommes que de femmes. La structure finale du personnel aprs recrutement doit tre tel que le nombre total de femmes employes soit les 2/3 du nombre total des hommes employs.

Quel est le nombre de personnes  embaucher (autant de femmes que d’hommes) ?

Problme (8points)

Partie A Soit g la fonction relle dfinie sur ]0 ; +[ par: g(x)x12 ln(x) 1. Dterminerles limites de la fonction g aux bornes de son intervalle de dfinition. 2. Etudierle sens de variation de g. 3. Montrerque l’quation g(x) = 0 admet le nombre 1 comme unique solution sur ]0 ; +[ 4. Dduirele signe de g(x) en fonction de x. Partie B ln( ) f(x)ln(x) Soit f la fonction relle dfinie sur ]0 ; +[ par:  1. Montrerque pour tout x appartenant  ]0 ; +[, f ’(x) et g(x) sont de mme signe. 2. Dterminerles limites de f aux bornes de son intervalle de dfinition. 3. Dresserle tableau de variation de f. 4. Onnote C f la courbe reprsentative de f et  celle de la fonction xln(x). Etudier la position de C f par rapport   . Partie C 1ln( ) h(x) On considre la fonction h, dfinie sur ]0 ; +[ par: ln( ) k(x) 1. Calculerh’(x). En dduire une primitive sur ]0 ; +la fonction[ de  2. Calculerl’aire dlimite par les droites d’quation x = 1 ; x = 4 et les courbes C f et 

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