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Corrigé BTS 2017 Mathématiques Groupe A

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BTS INDUSTRIELS

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Ajouté le : 11 mai 2017
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BTS Industriels

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Session 2017

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Épreuve :Mathématiques Groupe A

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Durée de l’épreuve : 2 heures

PROPOSITION DE CORRIGÉ

Propriété exclusivedeStudyrama.Toutereproductionoudiffusioninterditesans
autorisation.

1

Exercice 1

1

Partie A

1)a) La vitesse àt= 0est nulle, d’après le graphique.

1)b) La vitesse àt= 1est de 9 tours par seconde.

1)c) La vitesse semble se stabiliser àωS=15 tours par seconde.
1)d) Il faut calculer0,95×15=14,25 (tours par seconde). Ensuite on cherche sur le graphique au
bout de combien de temps est atteinte la vitesse 14,25. On trouve enviro n 2,3 ou 2,4 secondes.

2)a) On reconnaît une dérivée de la formeu×v:


ω(t) =
=
=
=

−2t−2t
−(30e +(30t+15)(−2e ))
−2t
−e (30−2(30t+15))
−2t
−e (−60t)
−2t
60te.

−2t
2)b) Sur[0,+∞]la fonctionωest croissante car les trois facteurs 60,t, etey sont positifs.

2)c)ω(0) = 0, ce qui correspond à une tangente horizontale àt= 0, telle qu’on peut l’observer sur
le graphique.

2

Partie B

1
′′ ′
1) On doit résoudrey+y+y= 0.
4
1
2
Je résous l’équation caractéristiquer+r+ 1 = 0cela je calcule le discriminant:. Pour
4

Δ= 1−1 = 0,

−1
j’en déduis que l’équation caractéristique possède une seule raciner0= =−2, et que l’équation
1 / 2
−2t
homogène possède la solutiony= (a t+b)e, avecaetbà déterminer plus tard.
U
2) Je détermine une solution particulière, c’est simple ici car ainsique l’énoncé l’indiquey=
k
′ ′′
et effectivement, avec cette fonction, on ay=y= 0et l’équation(E)est vérifiée.

3) J’en déduis les solutions générales de(E):

U
−2t
y= +(a t+b)e.
k
U10
−2t′ −2t
4)= =15, donc cela me donney=15+ (a t+b)eet doncy= (a−2(a t+b))ed’où
k2 / 3
′ −2t
y= (a−2b−2a t)eet ainsi:
!
y(0) =15+b

y(0) =a−2b.

Finalement, je dois résoudre:
!
15+b
a−2b

!
= 0b

= 0a

1

=−15
= 2b=−30,

d’où :

−2t
y=15+ (−30t+−15)e,

ce qui est exactement la fonctionωde la partie A.

3

Partie C

2
1) Je calculeΔ= 0,36−4×0,09=−0,2304.

Ce discriminant est négatif, mais heureusement0,2304= 0,48 tombe juste.
J’ai donc mes solutions complexes:

−0,36+ i 0,48−6 + 8 i

z1= =
0,183
−6−8 i

z2=z1=.
3
& &' &''
8 8
−2t
2) La solutions homogènes de(E1)sont donc lesy(t) = eacost+bsint, donc les
3 3
& &' &''
8 8
−2t
solutions générales de(E1)sont lesy(t) =15+ eacost+bsint, et il faut déterminer
3 3
aetb.
On a tout d’abord:

y(0) = 0⇔15+a= 0
⇔a=−15.

Ensuite, on dérivey:ce qui donne
& &' &'' && '& ''
8 88 88 8
′ −2t−2t
y(t) =−2eacost+bsint+ e−asint+bcost ,
3 33 33 3

et donc:

8

y(0) = 0⇔ −2a+b= 0
3
3
⇔b=×(−30),
8
90 45
⇔b=−=−.
8 4

Enfin nous avons notre solution:
& &' &''
8458
−2t
(t) =15+ e−15 cost−sint ,
3 4 3

on reconnaît la

réponse 2 .

3) le graphique indique une vitesse maximale de 16,5 tours par minute, atteinte à environ 1,2
secondes.

4

Partie D

1) les tensions semblent avoir été modifiées àt= 3et )t= 7.

2

2)Je n’ai pas le repère fourni avec la feuille maisla tension d’entrée est de cette forme:

Figure 1.Tension en fonction du temps.

3)a)is je vous donne un tableauJe ne dispose pas du tableau que vous aviez durant l’examen ma
de valeurs possible:
t0 1 2 3 4 5 6 7 8
e(t)10 10 10 40 40 40 20 20 20

3)b) Il est clair que ces valeurs ne correspondent pas, à cause du 40 qui devr ait être 30.

3)c) On devrait avoir:

Exercice 2

5

Partie A

e(t) =10U(t) +20U(t−3)−10U(t−7).

1) La courbe 3 est la seule paire périodique vérifiantf(0) = 0.

2)a) La fonction étant paire on ab1=b3=...= 0.

2)b)g(t) =−cos(t)−t(−sin(t)) +cos(t) =tsin(t) =f(t).

2)c) Calculonsa0:

a0=
=
=
=
=

(
π/2
2
f(t) dt
π
0
2π/2
[g(t)]
0
π
2
(g(π/ 2)−g(0))
π
2
(1−0)
π
2
.
π

3

3) On a donc:

et :

4) On doit calculer:

& '
2 1−20
a1=−+ 1=≈ −0,707,
π9 9π

& '
2 1168
a2= +=≈0,096.
π259225π

2 2
(a
2 21() +a2)
(fe)≈(a0) +.
2

Dans la réalité, on garderait beaucoup de décimales poura1eta2, mais ici on va en garder trois,
comme l’énoncé nous y invite, et donc:

d’où :

6

Partie B

2 2
(a1) +(a2)
2 2
(fe)≈(a0) +≈0,798,
2

fe≈0,893.

1)a) L’énoncé semble indiquer, sans l’expliciter, que chaque machine pr oduit 1 et 1 seul axe pendant
un cycle. Ceci étant posé, la variableXsuit la loiB(10; 0,02).

1)b)p1= 0,817
9
1)c) Il faut calculerp(X= 1) =10×0,02×0,98≈0,167,je garde trois décimales aussi.

Ensuite on ap(X= 0) =p1= 0,817.
On nous demande1−p(X= 0)−p(X= 1) = 0,016.

2)a)p= 1−0,0038−0,0098= 0,9864.

2)b) L’intervalle estI= [µ−2σ;µ+ 2σ](résultat du cours), ce qui donne:

I= [14,6 ;15,8].

3)a) On trouve:
15,1+ 2×15,12+3×15,14+ 4×15,16+3×15,18+2×15,2+2×15,22+15,24+15,26+15,28
d=
20

d’oùd=15,178.

Le service de maintenance ne règle pas la machine.

4

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