Corrige BTSINDUSPA Mathematiques 2006

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BTS — groupement CCorrection ´epreuve Math´ematiquesSession 2006Exercice 1 (10 points)Partie A.00 0Soit l’´equation : (E) y −4y +3y =−3x−21. L’´equation (E) est une ´equation du second ordre a` coefficients constants.00 0Les solutions de l’´equation sans second membre (E ) y −4y +3y = 002s’obtiennent en r´esolvant ...

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BTS — groupement C

Correctione´preuveMath´ematiques Session 2006

Exercice 1 (10 points) Partie A. 00 0 Soitl’e´quation:(E)y−4y+ 3y=−3x−2 1.L’e´quation(Ee)tsnu´edusecondequationcffieotneirdroca`e.tsonscanst 00 0 Lessolutionsdel’e´quationsanssecondmembre(E 0 )y−4y+ 3y= 0 2 s’obtiennentenr´esolvantl’´equatoncaracte´ristique:r−4r+ 3 = 0. Celleciposse`dedeuxsolutions:r 1 = 1 etr 2 = 3. Lessolutionsdel’´equation(E 0 paesr´dsninfienofsoitc)oscneltnod r 1 x r 2 x x3x y=C 1 e +C 2 e =C 1 e +C 2 e o`uC 1 etC 2 essdntdaenepd´s,ellee´rsetnatsnosontdescles.tiaisnnitioiocdn 2.(a)Recherched’unesolutionparticulie`resouslaformeg(x) =ax+b:g est une solution de (E) si et seulement si 3ax−4a+ 3b=−3x−2, soita=−1 etb=−2. Doncg(x) =−x−2. (b) Lessolutions de (Eenua`tnatuojaneti-rtpaontilusonnenbtie)s’o culie`rede(El)seosedse(´en´erallutionsgE 0 ). L’ensemble des solu- tions de (E) est l’ensemble des fonctions x3x2 f(x) =C 1 e +C 2 e−x−2 (C 1 ;C 2 )∈R 0x3x00x3x 3. Onaf(x) =C 1 3e +C 2 e−1 etf(x) =C 1 e +9C 2 e . 00 Si on imposef(0) =−1 etf(0) = 9 alors :C 1 = 0 etC 2 uo`d’1,= 3x f(x) = e−x−2 ´ Partie B. Etude defiesu´efinR,rd 3x 1. En−∞lim (0 ete =, lim−x−2) = +∞donc limf= +∞ x→−∞x→−∞ −∞ 2. Auvoisinage de +∞urleverl,pomrnitaoii’dne´ettemin´,ournslilaircet  3x  e 2 fsous la forme :f(x) =x−1−. x x 3x e 2 On alim =+∞et lim= 0 donc limf= +∞ x x x→+∞x→+∞+∞

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