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Corrigé du bac S 2008: Mathématique Spécialité

De
7 pages
Etude de fonction et d'intégrales. Géométrie complexe. Géométrie 3D. Suite et équations différentielles
Terminale S, Pondichéry, 2008
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[CorrectiondubaccalauréatSPondichéry\
16avril2008
EXERCICE 1 4points
Communàtouslescandidats
x 1 x x1. a. x>1)e >e ouencoree >e)e ?1(parcroissancedelafonction
exponentielle). f estdoncbiendéfiniepourx>1.
H est biendéfinie pour x>1 comme intégrale d’une fonction continue
carquotient dedeuxfonctions continues sur[1 ; ?1[,ledénominateur
nes’annulantpascommeonl’avuprécedemment.
0b. OnsaitqueH (x)? f(x):H estlaprimitivede f quis’annulepourx?1.
xc. Sur [1 ; ?1[,x?0 et e ?1?0 (voir a.), donc la fonction f est positive
surl’intervalle [1; x].
H(x) est donc égale à la mesure (en unités d’aire) de la surface limitée
par l’axe des abscisses, la courbeC et les droites verticales d’équation
X ?1etX ?x.
H(3) est donc égale à la mesure (en unités d’aire) de la surface limitée
par l’axe des abscisses, la courbeC et les droites verticales d’équation
x?1etx?3.
?x ?xx x?e e
2. a. Six?0,l’image f(x)peuts’écrire ? ?x? .
x ?x x ?xe ?1 e e ?1 1?e( )
b. Enposant:8 ?< u(x) ? x 0u (x) ? 1?x d’où , on peut, toutese ?x0: v(x) ? ln(1?e )v (x) ? ?x1?e
lesfonctionsétantcontinuessur[1;3],intégrerparparties:Z Z3 3? ? ?? ? ?3?x ?xf(x)dx? xln 1?e ? ln 1?e dx?1
1 1Z3? ? ? ? ? ??3 ?1 ?x3ln 1?e ?ln 1?e ? ln 1?e dx.
1
?3 ?x ?1c. Ona16x63 () ?36?x6?1 () e 6e 6e ()
?1 ?x ?3 ?1 ?x ?3?e 6?e 6?e () 1?e 61?e 61?e .
Parcroissancedelafonctionln,onadonc:? ? ? ? ? ??1 ?x ?3ln 1?e 6ln 1?e 6ln 1?e .
d. En intégrant les trois fonctions de l’inégalité précédente sur [1; 3], on
obtient:Z Z Z3 3 3? ? ? ? ? ??1 ?x ?3ln 1?e dx6 ln 1?e dx6 ln 1?e dx soit:
1 1 1Z3? ? ? ? ? ??x ?3?12ln 1?e 6 ln 1?e dx62ln 1?e .
1 Z3? ? ? ? ? ??3 ?x ?1Onadonc?2ln 1?e 6? ln 1?e dx6?2ln 1?e .Doncfi-
1
nalementenutilisantlerésultatdelaquestionb.:Z3? ? ? ? ? ? ? ??3 ?1?3 ?1ln 1?e ?ln 1?e 6 f(x)dx63ln 1?e ?3ln 1?e .
1
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
Cetexercicecontientunerestitutionorganiséedeconnaissances.
PartieA
PartieBCorrectiondubaccalauréatS A.P.M.E.P.
2 21. a. ? jz j ?3?1?4?2 ,doncjz j?2.A A? !p ? ? ? ?3 1 ?5i??5? ?5?
6Onadoncz ?2 ? ? i ?2 cos ?i sin ?2e .A 6 62 2
?5?Lemoduleestégalà2etunargumentà .
6? !p ? ? ? ? ??1 3 ? ?? De même, jz j ? 2 et z ? 2 ?i ? 2 cos ? ?isin ? ?B B 3 32 2
??i
32e .
?Lemoduleestégalà2etunargumentà? .3? !p
3 1 ?
6? z ?2 ? i ?2e .C
2 2
?Lemoduleestégalà2etunargumentà .
6? !p
1 3 2? 2?
3? z ?2 ? ?i ?2e .Lemoduleestégalà2etunargumentà .D 32 2
b. EnutilisantlecerclecentréenOderayon2etentraçantdesmédiatrices:
2D
E C
1!?
v
J
!?O?2 ?1 u1 2
?1 F
A
B?2
c. A etC d’une part,B etD d’autrepart ont leurs coordonnées opposées :
ils sont donc symétriques autour de O, donc ABCD est un parallélo-
gramme;
? ? 2?Les arguments de B, C et D sont respectivement? , et , donc les
3 6 3
droites(OB)et(OC)sontperpendiculaires, demême que (OC)et(OD).
Le parallélogramme ABCD a ses diagonales perpendiculaires : c’est un
losange:
Comme [AC] et [BD] sont des diamètres le quadrilatère ABCD est un
rectangle.
Conclusion: ABCD estuncarré.
2. a. Dans la rotation r le point B, un point et son image sont les trois som-
metsd’untriangleéquilatéral(triangleisocèleayantunangleausommet
Pondichéry 2 16avril2008
+
+
+
+CorrectiondubaccalauréatS A.P.M.E.P.
?de ).3
Pourconstruire F il suffit de construirele cercle decentreB et de rayon
BC etlecercledecentreCetderayonCB.
DemêmepourE,ontracelecercledecentreB etderayonBAetlecercle
decentre A etderayon AB.
p? p ? ? ? p ??i 30 ?
2b. Onaz ? 1?i 3 ?e z? 1?i 3 ()? !pp ? ? p ??1 30z ?1?i 3? ?i z? 1?i 3 ()
2 2? !p p pp 1 3 1 3 3 30z ?1?i 3? ?i z? ?i ?i ? .
2 2 2 2 2 2
? !p
1 30z ? ?i z?2.
2 2
p
c. Enremplaçantz par? 3?i,onobtient:? !p ? p ? p1 3
z ? ?i ? 3?i ?2?2? 3?i.E
2 2
EXERCICE 2 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
PartieA
PartieB
1. a. Voirlapartieobligatoire.
b. Voirlapartieobligatoire.
c. CommevuplushautOestlemilieude[AC]etlemilieude[BD].? p ?? p ?p p p
1?i 3 ? 3?iz 1?i 3 ? 3? 3?i?3iB ? ? ? ?i.p ? p ?? p ?
z 3?1A ? 3?i ? 3?i ? 3?i
Donclesdroites(OB)et(OC)sontperpendiculaires:lequadrilatèreABCD
est un parallolégramme (ses diagonales ont le même milieu O), un rec-
tangle(sesdiagonalessontdeuxdiamètres)etunlosange(sesdiagonales
sontperpendiculaires):c’estuncarré.
02. a. Cherchonslespointsinvariantsenrésolvantl’équationz ?z ()? !p? ?
? ? 1 i 3?i ?i
3 3z?e z?2 () z 1?e ?2 () z 1? ? ()
2 2? !p
1 i 3 2 4 p
z ? ?2 () z? p ? ?1?i 3?z .p B
1 i 32 2 1?i 3?
2 2
LeseulpointinvariantestlepointB.
?0 ?i 3Dez ?e z?2etp ? p ???i 31?i 3?e 1?i 3 ?2,onobtientpardifférence:
? ? h ? ?ip p?0 ?i
3z ? 1?i 3 ?e z? 1?i 3
?
g est doncla similitude directe de centreB et d’angle? . C’est la rota-
3
tiondecentreB.
b. Voirlapartieobligatoire.
Pourlepoint J imagedeOc’estlepointd’affixe2
c. O est le milieu de [AC], donc la rotation conservant les milieux J est le
`milieude[EF].
Pondichéry 3 16avril2008CorrectiondubaccalauréatS A.P.M.E.P.
EXERCICE 3 4points
Communàtouslescandidats
B
I
K
N
M
A
CL
J
D
1. G?bar{(A, 1), (B, 1), (C, 1), (D,1)}?bar{I,2), (J,2)}.DoncG est lemilieu de
[IJ].
Toujoursenutilisantl’associativitédubarycentreetenassociant AetC d’une
partB etD d’autrepartontrouvequeG estlemilieude[MN].
Enfin en associant B etC d’une part A et D d’autre part on trouve queG est
l’isobarycentrede[KL].
Lessegments[KL],[MN] et[IJ] ontlemêmemilieu.
Danslasuitedel’exercice,onsupposeque AB?CD, BC? AD et AC?BD.
(Onditqueletétraèdre ABCD estéquifacial,carsesfacessontisométriques).
2. a. En utilisant le théorème de la droite des milieux dans les triangles ABC
1 1?! ?! ?! ?! ?! ?!
et ACD,ona IK ? AC etLJ ? AC .OnendéduitqueIK ?LJ ()
2 2
IKJL estunparallélogramme.
Enutlisantlemêmethéorèmedanslestriangles ABD etBCD,ontrouve?! ??!
queLI ?JK .
1 1
Onadoncenprenant les normes IK ? AC etLI ? BD. Or AC?BD.
2 2
Conclusion:LI?IK.
LequadrilatèreIKJL estunparallélogramme dontdeuxcôtésconsécu-
tifs ont la même longueur : c’est un losange. On démontre de la même
façonqueIMJN etKNLM sontdeslosanges.
b. IKJL, IMJN etKNLM sont des losanges donc (IJ) et (KL)sont ortho-
gonalesdemêmeque(IJ)et(MN)ainsique(KL)et(MN).
3. a. La droite (IJ) est orthogonale à deux droites (KL) et (MN) du plan du
losangeKNLM :elleestdoncorthogonaleàceplan(MKN).
b. (IJ) orthogonale au plan (MKN) est orthogonale à toute droite de ce?! ??!
plan donc en particulier à la droite (MK). Les vecteurs IJ et MK sont?! ???!
doncorthogonauxetparconséquentIJ ?MK ?0.
Ordansletriangle ABC ladroite(MK)(droitedesmilieux) estparallèle
à(AB).Conclusion(IJ)estperpendiculaireàladroite(AB).
Demême(IJ)estorthogonaleà(NK)quiestparallèleà(CD),donc(IJ)
estperpendiculaireà(CD).
c. OnavuqueG2(IJ)et(IJ)estperpendiculaireà[AB],doncG appartient
àlamédiatricede[AB].ConclusionG estéquidistantde A etdeB,donc
appartient au plan médiateur de [AB]. On démontre de même que G
appartientauplanmédiateurde[CD].
d. OnsaitdéjàqueGA?GB etqueGC?GD.
On démontre de la même façon qu’à la question précédente queG ap-
partientauplanmédiateurde[AD],doncqueGA?GD.
Pondichéry 4 16avril2008
cbcccbbcbbcbCorrectiondubaccalauréatS A.P.M.E.P.
Finalement onaGA?GB?GC?GD cequi montrequeG estle centre
delasphèrecontenantlesquatrepoints A,B,C etD.
EXERCICE 4 7points
Communàtouslescandidats
LespartiesAetBsontindépendantes
PartieA:unmodèlediscret
2x x0 01. a. On a f(x)?2x? , donc f (x)? 2? . On a f (x)60 () x610 et
10 50f (x)> 0 () x> 10. La fonction f est donc croissante sur [0; 10] et
décroissantesur[10;20].
b. Sur [0; 20], le maximum de f est donc f(10)?10, f(0)?0 et f(20)?0
sontlesminimums de f.
Onadoncquelquesoitx2[0; 20], f(x)2[0; 10].
c. Voirci-dessous.
2. Initialisation:Onau ? f (u )? f(1)?2?0,1?1,91 0
Onabien06u 6u 610.0 1
Hérédité :Supposons qu’il existe une valeurn pourlaquelle 06u 6u 6n n?1
10.
On a vu que sur l’intervalle [0; 10], le fonction f est croissante, donc6u 6n
u ) f (u )6 f (u ) () u 6u .n?1 n n?1 n?1 n?2
De plus d’après la question 1. b. quel que soit un nombre dans l’intervalle
[0; 20] etafortiori dansl’intervalle [0; 10], son image par f et elle aussi dans
l’intervalle [0; 10]. On a donc bien 06u 6u 6 10. La démonstrationn?1 n?2
parrécurrenceestterminée.
3. Onvientenfaitdedémontrerquelasuite u estcroissante.Commeelle( )n n>0
majoréepar10,elleconvergeversunelimite`inférieureouégaleà10.
Commelafonction f estcontinueonobtientparpassageàlalimite:
2
` 2
`?2`? () 10`?` ?0 () `(10?`)?0 () `?0 ou `?10.
10
`?0n’estpaspossiblecaru ?`etlasuiteestcroissante.0
Donc lim u ?10.n
n!?1
PartieB:unmodèlecontinu
0 01 1 y z0 0 2 01. a. z? () y .z est dérivableet z ?? ??y z () y ?? . Ona
2 2y z y z
donc: ? ?01 z 1 1 1 1 10 0y ? y(10?y) () ? ? 10? () z ?? z? .
220 z 20 z z 2 20
1
b. UnesolutionconstanteévidentedeE estz? .1
10
10Lessolutionsdel’équationdifférentiellez ?? zsontlesfonctionsx7?!
2
x?
2Ke .
Lessolutionsdel’équationE sontdonclesfonctions1
x 1? 2x7?!z(x)?Ke ? .
10
Lessolutionsde(E)sontdonclesfonctions
1
x7?! .
x 1?
2Ke ?
10
Pondichéry 5 16avril2008CorrectiondubaccalauréatS A.P.M.E.P.
1 1
2. g estunesolutionde(E)tellequeg(0)?1 () ?1 () ?
0 1 K?0,1?
2Ke ?
10
9
1 () 1?K?0,1 () K?0,9? .
10
1 10
Finalement g(x)? ? .x?x 1 29 ? 9e ?1
2e ?10 10? ? x x1 ? ?210?9? ? e 245e203. On a g (x)?? ? . Cette dérivée ne comportant? ? ? ?2 2x x? ?
2 29e ?1 9e ?1
que des termes positifs est positive : la fonction g est donc croissante sur
[0;?1[.
x?
24. Ona lim e ?0,donc lim g(x)?10.
x!?1 x!?1
Ceci signifie qu’à long terme le nombre de foyers équipés de téléviseurs à
écranplatvaserapprocherde10millions.
10 x?25. Ilfautrésoudrel’inéquationg(x)?5 () ?5 () 2?9e ?1 ()x?
29e ?1
x 1 x? ? x x
2 21? 9e () ? e () ?ln9?? () ? ln9 () x ? 2ln9 soit
2 29
environ4,3ansouen5ansà1anprèssoiten2010.
Pondichéry 6 16avril2008CorrectiondubaccalauréatS A.P.M.E.P.
ANNEXE
Àrendreaveclacopie
14
13
13
12
12
11
11
10
10
9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24?1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20?1
u u u u u0 1 2 3 4-2?2
-3?3
Pondichéry 7 16avril2008

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