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ECRICOME2000.Mathe´matiques,optionS
EXERCICE 1 m mu´egeuro3.Onal`aitedinetcuenueverdesenuteitnpusrire´Ral`ceriatamdennolocsese coordonne´esdanslabasecanonique.sticneoceToutecirnocselsetamssoes`antd´si´eer re´els. t SiMest une matrice, on noteMecirsquleouepeurdatxmnartaselppraOne.´eosspMetN, t tt (M N) =N M. SiMrtcicera´reedroedrestunemam, on note respectivementEMetFMle noyau et l’image de m l’endomorphisme deRdont la matrice dans la base canonique estM. m Recxveurdouipn´edeuqinonacerialaroduitscnidesonpetsumsetruXetYpar : t (X|Y) =XY. La norme euclidienne d’un vecteurXduroepacaialscitontse,eree´t,sae´`eosic ||X||. Soitn`aunentierspue´irueor´ugela1.On dit qu’une matriceAerodrrracdee´mest de tn typensiA=A. 1)a)?Qu’est-ce qu’une matrice de type 0, de type 1 b)Donner un exemple, sous forme de tableau, de matrice non diagonale de type1. Onsupposede´sormaisquenest strictement plus grand que 1. 2)Dans cette question seulement on supposem= 3.   0 00   Soitxe´leteunnombrerN(x) la matrice :0 cos(xsin() –x) 0 sin(x) cos(x)  k a)encecurrrr´eerpanort´Dmeitfntmesipotrrsteicetuoeitnpeuqtruokon a :N(x) =N(kx). b)lDe´sert´eeremlineralorssxtels queN(x) soit une matrice de typen. Onrevientaucasg´en´eralmuelcqis`dcnnoeeotnouqnetuanenntaiemerecirtamAodrerdee´rrac met de typen.Onseproposed´elbatuqriuqlerpseriopt´´edeesA. 2 (n) 3)a)bailtEgelalr´it´eA=A. n+1n b)On poseB=A. Montrer queB=Bet queBirte.euqcerim´syuenstatem c)uQuepedeesprelrupsornaatxuaveduirequt-onend´B? t d)SoitVun vecteur propre deBeorrpuepravale`aloci´ass1. En calculantV BVde deux manie`resdie´rentesmontrerquelonaboutit`aunecontradictionetquainsi1 ne peut pas ˆetrevaleurpropredeB. e)Montrer queBest une matrice de projecteur orthogonal. 4)a)Montrer queEBest inclus dansEApuis queEB=EA. b)Montrer queFA=FBet queEAetFAtrohersosxu.oganeme´iatnstnolppu 5)SoitUun vecteur deFA. Montrer que||AU||=||U||. 6)Montrer que siAest inversible et de typenalorsAest aussi de type1. 7)Montrer que siAepytedsoiafalt`esnet de typen+ 1alorsAest une matrice de projecteur orthogonal.
EXERCICE 2 aetbfi,sneptsotistrictemuxr´eelsosedtnse0tsvlee´rnutnaire´< s <1. Z +1 1)a)t´eglinralenoevlrcaecedgrneliabEtJ= du. u e +a 0 b)CalculerJleraupr´ealableaperexpmelc,lauc(O.ounpa,rraJ.) Onconsid`ereunesuitedevariablesal´eatoires(Yk)k>0Ω´s(eacepnespbilirobae´dseinurus,A, P), inde´pendantesetsuivantlameˆmeloiexponentielledeparam`etreb.