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Ecricome 2001 mathematiques classe prepa hec (s)

4 pages
Ecricome 2001, option scientifique.EXERCICE 1Soientaetbdeuxr´eels strictementpositifs,X etY deuxvariables al´eatoiresd´efiniessurunmˆemeespace probabilis´e, ind´ependantes, suivant chacune une loi exponentielle de param`etres respectifsa et b.1) D´eterminer la fonction de r´epartition, puis une densit´e, de la variable al´eatoire −X.2) Montrer que Y −X admet une densit´e, not´ee h, d´efinie parab ab−bt ath(t) = e pour t> 0 et h(t) = e pour t≤ 0a+b a+bOn consid`ere la variable al´eatoire Z =|X−Y|.−as −bsbe +ae3) Soit s un r´eel positif. Etablir l’´egalit´e : P(Z ≤s) = 1− .a+b4)a)Montrer que Z est une variable al´eatoire a` densit´e et en donner une densit´e.b)Montrer que Z admet une esp´erance et la calculer.EXERCICE 2Soient n un entier ≥ 2 et E l’espace vectoriel des matrices carr´ees d’ordre n a` coefficients r´eels.tI est la matrice identit´e de E. On note A la transpos´ee d’un ´el´ement A de E. Si A = (a )i,jappartient `a E, on appelle trace de A et on note tr(A), la somme a +a +··· +a des1,1 2,2 n,n´el´ements diagonaux de A.On consid`ere l’applicationg deE×E dansR, qui `a deux matricesA etB deE fait correspondretle r´eel g(A,B) = tr( AB).1) Montrer que l’application tr qui a` tout ´el´ement de E associe sa trace, est une forme lin´eairesur E.t2)a)Soit M une matrice de E. Montrer que tr(M) = tr( M).b)En d´eduire que, pour tout couple (A,B) de matrices de E, on a g(A,B) =g(B,A).3) Soit A un ´el´ement de E. Montrer que g(A,A) est la somme des ...
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Ecricome 2001, option scientifique.
EXERCICE 1 Soientaetbmentictetifsposi,drxuelee´rtssXetYdueailbvxraat´eales´esdreoirusseinemeˆmnu espaceprobabilis´e,ind´ependantes,suivantchacuneuneloiexponentielledeparam`etresrespectifs aetb. 1),e´talediravelban,ioispuedunsienal´eatoirenofalrenimrete´Ditrtpa´eerndioctX. 2)Montrer queYXee´daemnsdenetuot,n´eithe´d,rapeinab ab bt at h(t) =e pourt >0 eth(te pour) =t0 a+b a+b Onconsid`erelavariableale´atoireZ=|XY|. asbs be +ae 3)Soits:´eitaleg´lrilbatE.fitisopunr´eelP(Zs) = 1. a+b 4)a)Montrer queZenet´eitunernndo´tisnede.etuneesablevaritaiolae´edsnera` b)Montrer queZlecur.admetuneepse´arcneeltcala
EXERCICE 2 Soientnun entier2 etEerdrodsee´rraceotcaveepslcescatridesmrieln`.sel´esrntiecoeac t Iamrtciieetsaldedentit´eE. On noteApsnae´sortalme´entuedeln´AdeE. SiA= (ai,j) appartient`aE, on appelle trace deAet on note tr(A), la sommea1,1+a2,2+∙ ∙ ∙+an,ndes e´le´mentsdiagonauxdeA. Onconsid`erelapplicationgdeE×EdansRriatxmeuadi`qu,ecsAetBdeEfait correspondre t ler´eelg(A, B) = tr(AB). 1)ementdetout´el´tnqriua`lpcitaoiuerqaplMorentEatrace,eassociesemil´naetsnuferoeir surE. t 2)a)SoitMune matrice deE. Montrer que tr(M) = tr(M). b)couttourpoe,quredeiunE´d(elpuA, B) de matrices deE, on ag(A, B) =g(B, A). 3)SoitAle´neme´edtnuE. Montrer queg(A, Amoemltsara´redcsscoeesdentsdcieees)A. 4)eteenqus,´epredc´noM(a`,rertsqdedeainsiostuegest un produit scalaire surE. n n SoitB= (e1, e2, . . . , en) la base canonique deRetfl’endomorphisme deRnipad´e:r f(e1) =enet, pour tout entierktel que 2kn, f(ek) =ek1 n 5)a)Montrer quefest un automorphisme deR. n1 t b)SoitUla matrice defdans la baseB. Montrer queU=Iet queU=U. On suppose, pour les deux questions suivantes, quen= 4. 2 32 3 6)CalculerUetUet montrer que (, UI, U, U) est une famille orthogonale pour le produit scalaireg. 2 3 7)On noteFle sous espace vectoriel deEee´rdnegnamafrlpa(leil, UI, U, U) etVla matrice deEre`igileseennoctitsteeu´1edeestldontlapremalreluclaC.0edntmeueiqunestrau projection orthogonaleWdeVsurF.
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