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Ecricome 2001, option scientifique.
EXERCICE 1 Soientaetbmentictetifsposi,drxuelee´rtssXetYdueailbvxraat´eales´esdreoirusseinemeˆmnu espaceprobabilis´e,ind´ependantes,suivantchacuneuneloiexponentielledeparam`etresrespectifs aetb. 1),e´talediravelban,ioispuedunsienal´eatoirenofalrenimrete´Ditrtpa´eerndioctX. 2)Montrer queYXee´daemnsdenetuot,n´eithe´d,rapeinab ab bt at h(t) =e pourt >0 eth(te pour) =t0 a+b a+b Onconsid`erelavariableale´atoireZ=|XY|. asbs be +ae 3)Soits:´eitaleg´lrilbatE.fitisopunr´eelP(Zs) = 1. a+b 4)a)Montrer queZenet´eitunernndo´tisnede.etuneesablevaritaiolae´edsnera` b)Montrer queZlecur.admetuneepse´arcneeltcala
EXERCICE 2 Soientnun entier2 etEerdrodsee´rraceotcaveepslcescatridesmrieln`.sel´esrntiecoeac t Iamrtciieetsaldedentit´eE. On noteApsnae´sortalme´entuedeln´AdeE. SiA= (ai,j) appartient`aE, on appelle trace deAet on note tr(A), la sommea1,1+a2,2+∙ ∙ ∙+an,ndes e´le´mentsdiagonauxdeA. Onconsid`erelapplicationgdeE×EdansRriatxmeuadi`qu,ecsAetBdeEfait correspondre t ler´eelg(A, B) = tr(AB). 1)ementdetout´el´tnqriua`lpcitaoiuerqaplMorentEatrace,eassociesemil´naetsnuferoeir surE. t 2)a)SoitMune matrice deE. Montrer que tr(M) = tr(M). b)couttourpoe,quredeiunE´d(elpuA, B) de matrices deE, on ag(A, B) =g(B, A). 3)SoitAle´neme´edtnuE. Montrer queg(A, Amoemltsara´redcsscoeesdentsdcieees)A. 4)eteenqus,´epredc´noM(a`,rertsqdedeainsiostuegest un produit scalaire surE. n n SoitB= (e1, e2, . . . , en) la base canonique deRetfl’endomorphisme deRnipad´e:r f(e1) =enet, pour tout entierktel que 2kn, f(ek) =ek1 n 5)a)Montrer quefest un automorphisme deR. n1 t b)SoitUla matrice defdans la baseB. Montrer queU=Iet queU=U. On suppose, pour les deux questions suivantes, quen= 4. 2 32 3 6)CalculerUetUet montrer que (, UI, U, U) est une famille orthogonale pour le produit scalaireg. 2 3 7)On noteFle sous espace vectoriel deEee´rdnegnamafrlpa(leil, UI, U, U) etVla matrice deEre`igileseennoctitsteeu´1edeestldontlapremalreluclaC.0edntmeueiqunestrau projection orthogonaleWdeVsurF.