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ECRI COME Banqued´epreuvescommunes aux concours des Ecoles es bordeaux/ esmarseille /ic nancy/ esc reims/ esrouen /esc toulouse
CONCOURS D’ADMISSION
option technologique ´ MATHEMATIQUES Anne´e2002
Aucuninstrumentdecalculnestautoris´e. Aucundocumentnestautoris´e.
Le´nonce´comporte4pages
Lescandidatssontinvit´es`asoignerlapre´sentationdeleurcopie,a`mettreene´videncelesprincipaux r´esultats,a`respecterlesnotationsdele´nonce´,et`adonnerdesde´monstrationscompl`etes(maisbre`ves) de leurs affirmations.
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Exercice 1 2 Onconsid`erelafonctionfd´enieparf(x) =xxonnote1+r´eperrbouacClteevedseneatitfdans un rep`ereorthonormal. ( 1 u0= Onde´nitlasuite(un) par: 2 un+1=f(un) sin>0
Etude de la fonction f 2 1.EtudierlesignedutrinoˆmeP(x)dn´eurisRpar :P(x) =xx+ 1 End´eduirequefneiusrestd´eR 2. Etudierftionariaudevbleanoatessrrdseupsis,neorxbauesitimlselresice´rp,russR. 3. ComportementdeCau voisinage de +(a) Montrerque ,pour toutxstrictement positif: 1 1 x f(x)x=r 1 1 11+ + 2 x x (b)End´eduirelavaleurdelim(f(x)xains)itnoqeaunu´eqiu`atetompsy)a(Δde(C) en +. x+4.Re´soudrel´equationf(x) =x 1 0 5. Majorationde la valeur absolue defsur l’intervalle [; 1] 2 0 (a) Exprimerf(x) en fonction dexet def(x) r 1 3 (b) Montrerquex1][ ;, f(x)> 2 4 1 1 0 (c)Ende´duirequex[ ;1],|f(x)|62 3 Convergence de la suite(un) 1 1.Montrerparre´currenceque:nN,un[ ;1] 2 2.Montrerparre´currenceque:nN,un6un+1 3. (a) Justifierque la suite (une.itimalrpteetnesresice´)estconverg 1 n (b)Montrerparre´currenceque:nN,|un1|6()|u01| 3 Exercice 2 Onconsid`erelesmatricessuivantes:   1 1   0   0 00 4 22 011 0 1 1  0 10    M0= 1, P1= 12, D= , Q= 33 3   2 3   1 10 2 1 10 10 0 0 4 4 2
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Calcul des puissances de M n 1.De´terminerlexpressiondeD, pour tout entier naturelnnon nul. 1 2. CalculerP QeruqdeiunE´de.Pest inversible et exprimerP, sous forme d’un tableau de nombres. 1 3. Calculerle produitPP M ×n n1 4.Montrerparre´currenceque:nN, M=PP D. n 5. EcrireMseut`onuer,sonbmaudeableuntrmedsuosofal.lunnnoeluratrnientne
Suitesde´niesparunerelationder´ecurrence un+ 2wn un+1= u0= 04 un+ 2vn Onconside`relessuites(un), (vn) et (wnein)´d:rseapv0= 0.etnN, vn+1= 4 w0= 1u+ 2wn n wn+1= 4   un   Pour tout entier natureln,on note:Xn=vn wn 1. ExprimerXn+1en fonction deMet deXn 2. n (a)End´eduirelexpressiondeXnen fonction deMet deX0pour tout entierns,pue´irueor´uegal`a1. (b)Alaidedesre´sultatsobtenusen5,de´termineralorslexpressiondeun,vnetwnen fonction den. (c)De´terminerleslimitesdessuites(un), (vn) et (wn).
Exercice 3 Uncommer¸cantdisposedunstockdeplantes.Chacunedesplanteseuritunefoisparan. 3 Pourchaqueplante,lapremie`reanne´e,laprobabilit´ededonneruneeurrosevaut,laprobabilit´ededonner 4 1 une fleur blanche vaut. 4 Puislesanne´essuivantes,pourtoutentiernaturelnnonnul: silanne´enlorslanurrose,a´nee,pllaue´neenetnanodan+ 1elle donnera une fleur rose. silann´eenno´netdaeruueenche,blansellalornodearennalee´nanpllanrpbobaelnue1d+a¸efn´couieq fleur rose ou une fleur blanche.
Etude d’une suite nreitutannlerunnoPol.unurlaepednteeo,no´nenntod´esigneunenpnne´ve´l,tnemeobablapr´edeilitRnla plantedonneuneeurroselani`emeann´ee 1.Alaidedelaformuledesprobabilite´stotales,montrerquelasuite(pn)n>1ti´ehmitarteuiestsnueoc ge´ome´triquequiv´erie: 1 1 pn+1=pn+ 2 2 2.End´eduirelexpressiondepnen fonction denet dep1. 3. Quevautp1edd´En?reuipnlim, ainsi que la valeur depn n+4. (a)Quelleestlaprobabilite´pourquelaplantenedonnequedeseursrosespendantlesnre`emireps anne´es? (b)Quelleestlaprobabilit´epourquelaplantenedonnequedeseursblanchespendantlesnpsere`imer ann´ees?
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Etudedunevariableale´atoire. Unclientvientdacheterunecommandede10000planteschoisiesauhasarddanslestock.Ond´esigneparXla variableale´atoire´egaleaunombredeplantesparmiles10000achet´eesquidonnentlapremi`ereann´eeuneeur rose. 1.ReconnaıˆtrelaloideX, donner la valeur deE(X) et deV(X). On noteσ´elrtcapetyed.X V´erierquelonaσ3= 25 2. Parquelle loi normale peut-on approcher la loi deX? 3.Sanstenircomptedelacorrectiondecontinuite´,utilisercetteapproximationpourdonnerunevaleurap-proch´eedeP(74506X67550) . 2 On donne Φ()0,notcoidnree´aptritiondelaloinorm78`u,o´eΦdgnsiafelrtnecelaude´ree´e.it 3
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