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Ecricome 2004 mathematiques classe prepa hec (s)

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Ecricome 2004, option scientifique.EXERCICE 1M (R) d´esigne l’espace vectoriel des matrices carr´ees d’ordre n `a coefficients r´eels (n> 1) et Enl’espace vectoriel des polynˆomes a` coefficients r´eels de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n−1.Onconsid`ereunematriceS deM (R)admettantnvaleurspropresr´eellesλ ,λ ,...,λ distinctesn 1 2 ndeux a` deux.L’objet de l’exercice est de montrer que, si k est un entier naturel impair et si une matrice A dekM (R) commute avec S , alors elle commute avec S.nDans la derni`ere question on ´etudiera un contre-exemple.−11) Justifier l’existence d’une matrice P inversible telle que la matrice P SP soit une matriceD diagonale. Dans la suite de l’exercice un entier naturel impair k est fix´e.n2) On consid`ere l’application f de E dans R qui `a tout polynˆome T fait correspondre lenvecteur deR d´efini par :k k kf(T) = T(λ ),T(λ ),...,,T(λ )1 2 na) Montrer que f est un isomorphisme d’espaces vectoriels.b)En d´eduire l’existence d’un unique polynˆome U de E tel que :k k kU(λ =λ , U(λ ) =λ ,...,U(λ ) =λ1 2 n1 2 nk3) Prouver que le polynˆome R, d´efini par R(X) =U(X )−X est un polynomˆ e annulateur deD puis de S.k k4) Soit une matrice A deM (R) v´erifiant AS =S A.npk pka) Montrer que pour tout entier naturel p, AS =S A.b)En d´eduire que les matrices A et S commutent, c’est-`a-dire que : AS =SA.5) On consid`ere les deux matrices A et S deM (R) suivantes :2 1 –1 0 1A = , S =2 2 1 0a) V´erifier que S poss`ede deux valeurs propres ...
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Ecricome 2004, option scientifique. EXERCICE 1 Mn(Rieldctortricesmarre´seacrordseded´)giselenapseevecneco`ar´tsenci(sleen>1) etE lespacevectorieldespolynˆomes`acoecientsre´elsdedegr´einfe´rieuroue´gal`an1. Onconside`reunematriceSdeMn(R) admettantn´reesorplpererlseusalvλ1, λ2, . . . , λndistinctes deux`adeux. L’objet de l’exercice est de montrer que, sikest un entier naturel impair et si une matriceAde k Mn(R) commute avecS, alors elle commute avecS. Dansladerni`erequestionon´etudierauncontre-exemple. 1 1)Justifier l’existence d’une matricePinversible telle que la matriceP SPsoit une matrice Ddiagonale. Dans la suite de l’exercice un entier naturel impairk´ex.ets n 2)Oonncd`silereppaacilnoitfdeEdansR`itauqˆomeolynoutpTfait correspondre le n vecteur deRnied´ap:r   k kk f(T) =T(λ), T(λ), . . . , , T(λ) 1 2n a)Montrer quefest un isomorphisme d’espaces vectoriels. b)uqpeuninoˆemlonyexisreledutenciude´dnEUdeEtel que : k kk U(λ ,. . 1=λ1, U(λ2) =λ2. , U(λ) =λn n k 3)vureuqlepelonyoˆPermoRrapine´d,R(X) =U(X)Xpounsterdetauennlumoaeylˆn Dpuis deS. k k 4)Soit une matriceAdeMn(Ranit)erv´AS=S A. pk pk a)Montrer que pour tout entier naturelp,AS=S A. b)esiceseltrmadeiueruqnE´dAetSue:ireq`a-dc,t-tsemmocnetuAS=SA. 5)esictrmauxdeesreleis`dcnnoOAetSdeM2(R) suivantes :    1 –10 1 A=, S= 2 21 0 a)euV´erierqSet.sitcnp`ssodedevxueeualprrsreopissd b)Montrer queAcommute avec toute puissance paire deS, mais ne commute pas avecS. EXERCICE 2   π1 Onconside`relafonctionfitnreavneiuslrd´eellI= 0,par :f(x) = 4 cosx π I0= 4 Z π ainsiquelasuiter´eelle(In)nNsuivante :4  n nN, In=f(x) dx 0 Partie 1edeuqijectionr´eciprotEdudelebaf. 1)Montrer quefear´ebunseliitnojiceedIdans un intervalleJa.Oniserqru´eelconponet 1 fe.quroipecr´onceitbajil 1 2)sdveeenestitaemeˆmelrusrennoDelallurgraphiquebrspe´rdeseocrufet def.   1 1 cosf(x) = x r 3)Justifier que :xJ,   1 1 sinf(x1) =2 x 1 4)Montrer quef´drevibaelusrsteJ\ {1}et montrer que :  01 1 xJ\ {1}, f(x) =2 x x1 1 5)Ed´eend2nee´timiltnemepplove´eedelirdufre1.ord`al
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