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Ecricome 2004, Option Technologique
EXERCICE 1 Lexerciceseproposede´tudierlasuite(un)nNde´ap:rnei u0= 0 nN, un+1=f(un) x x La fonctionfneiusrt´enadte´Rpar : pour toutxr´e,lef(x) = eln(1 + e).
Partie1:Etudedunefonctionginterm´ediaire. + Onconside`relafonctionde´niesurRpar : t t>0, g(t) =ln(1 +t) t+ 1 0+ 1)dne´ir´veete´Derminerlafonctiogdeget en donner son signe surR. 2)ude´dnEofcnedalitnoesvairelionsriatget montrer que :t>0, g(t)60.
Partie 2: Etude de la fonction f.
0 −x x 1)ntrerqueD´emotuotruop,anolxr:el´ef(x) = eg(e ) 2)Etudier alors les variations de la fonctionf. ln(1 + e) 3)Sachant que ln 2'0.69 et que'0.48, montrer que l’on a,pour toutxde l’intervalle e [0,1] : 06f(x)61
Partie 3: Convergence de la suite(un)nN
1)Justifier que pour toutxde [0,1] : 0 |f(x)|6|g(e)| 2)notcoin`drelefasionncOhur[0d´enies,1] par :h(x) =f(x)x. a)Montrer quehr[0tteuseuse´dtnemenassiorctincfonectriston,1]. b)uqlevureauit´qeonProh(x) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [0,1]. c)nE´ddeiuernoitauqe´leuqf(x) =xadmet une unique solutionαsur [0,1]. 3)treremonD´touepourtnerruqecrrapuce´nentier naturel : 06un61 4)Montrer que, pour toutnentier naturel : |un+1α|6|g(e)|.|unα| Ainsi que : n |unα|6|g(e)| 5)Sachant que|g(e)|<0.imentere,6´ddetemililarslora(etiusalun)nNlorsquentend vers +.
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