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Ecricome 2004 mathematiques classe prepa hec (stg)

3 pages
Ecricome 2004, Option TechnologiqueEXERCICE 1L’exercice se propose d’´etudier la suite (u ) d´efinie par :n n∈Nu = 00∀n∈N, u =f(u )n+1 n−x xLa fonction f ´etant d´efinie surR par : pour tout x r´eel, f(x) = e ln(1+e ).Partie 1 : Etude d’une fonction g interm´ediaire.+On consid`ere la fonction d´efinie surR par :t∀t> 0, g(t) = −ln(1+t)t+10 +1) D´eterminer la fonction d´eriv´ee g de g et en donner son signe surR .2) En d´eduire les variations de la fonction g et montrer que : ∀t> 0, g(t)6 0.Partie 2 : Etude de la fonction f.0 −x x1) D´emontrer que l’on a , pour tout x r´eel : f (x) = e g(e )2) Etudier alors les variations de la fonction f.ln(1+e)3) Sachantqueln2’ 0.69etque ’ 0.48,montrerquel’ona,pourtoutxdel’intervallee[0,1] :06f(x)6 1Partie 3 : Convergence de la suite (u )n n∈N1) Justifier que pour tout x de [0,1] :0|f (x)|6|g(e)|2) On consid`ere la fonction h d´efinie sur [0,1] par : h(x) =f(x)−x.a) Montrer que h est une fonction strictement d´ecroissante sur [0,1].b)Prouver que l’´equation h(x) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [0,1].c) En d´eduire que l’´equation f(x) =x admet une unique solution α sur [0,1].3) D´emontrer par r´ecurrence que pour tout n entier naturel :06u 6 1n4) Montrer que, pour tout n entier naturel :|u −α|6|g(e)|.|u −α|n+1 nAinsi que :n|u −α|6|g(e)|n5) Sachant que |g(e)|< 0.6, d´eterminer alors la limite de la suite (u ) lorsque n tend versn n∈N+∞.EXERCICE 2On consid`ere les suites r´eellesu etv ...
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Ecricome 2004, Option Technologique
EXERCICE 1 Lexerciceseproposede´tudierlasuite(un)nNde´ap:rnei u0= 0 nN, un+1=f(un) x x La fonctionfneiusrt´enadte´Rpar : pour toutxr´e,lef(x) = eln(1 + e).
Partie1:Etudedunefonctionginterm´ediaire. + Onconside`relafonctionde´niesurRpar : t t>0, g(t) =ln(1 +t) t+ 1 0+ 1)dne´ir´veete´Derminerlafonctiogdeget en donner son signe surR. 2)ude´dnEofcnedalitnoesvairelionsriatget montrer que :t>0, g(t)60.
Partie 2: Etude de la fonction f.
0 −x x 1)ntrerqueD´emotuotruop,anolxr:el´ef(x) = eg(e ) 2)Etudier alors les variations de la fonctionf. ln(1 + e) 3)Sachant que ln 2'0.69 et que'0.48, montrer que l’on a,pour toutxde l’intervalle e [0,1] : 06f(x)61
Partie 3: Convergence de la suite(un)nN
1)Justifier que pour toutxde [0,1] : 0 |f(x)|6|g(e)| 2)notcoin`drelefasionncOhur[0d´enies,1] par :h(x) =f(x)x. a)Montrer quehr[0tteuseuse´dtnemenassiorctincfonectriston,1]. b)uqlevureauit´qeonProh(x) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [0,1]. c)nE´ddeiuernoitauqe´leuqf(x) =xadmet une unique solutionαsur [0,1]. 3)treremonD´touepourtnerruqecrrapuce´nentier naturel : 06un61 4)Montrer que, pour toutnentier naturel : |un+1α|6|g(e)|.|unα| Ainsi que : n |unα|6|g(e)| 5)Sachant que|g(e)|<0.imentere,6´ddetemililarslora(etiusalun)nNlorsquentend vers +.
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