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Ecricome 2005 mathematiques classe prepa hec (s)

4 pages
Ecricome 2005, option S. (avec programme pascal modifi´e)EXERCICE 13L’espaceR est muni de son produit scalaire usuel. Trois r´eels a, b, c ´etant donn´es, on pose : a c b M(a,b,c) = c a+b cb c a1) D´eterminer trois matrices I, J, K dont les coefficients ne d´ependent pas de a, b, c, tellesque :M(a,b,c) =aI +bJ +cK2 2 3 2Calculer J , K et K . D´eterminer une relation entre I, J et K , ainsi qu’un polynˆomeannulateur de K.Quelles sont les valeurs propres possibles de K ?t2) Justifier qu’il existe une matrice P ∈ M (R) inversible, telle que D = ( P)KP soit une3matrice diagonale.D´eterminer P et D v´erifiant les conditions pr´ec´edentes et telles que d < d < d (ou`1,1 2,2 3,3d est le coefficient d’indices i,j de D.)i,j2 t3) En ´ecrivant M =M(a,b,c) en fonction de I, K, K , d´eterminer la matrice ( P)MP.En d´eduire les valeurs propres de la matrice M.Discutersuivantlesvaleursdea,b,clenombredevaleurspropresdistinctesdeM etpr´eciserdans chaque cas les sous-espaces propres associ´es.√ √4) On suppose dans cette question a = 4, b = 2, c = 2 et on note M =M(4,2, 2).   0x x0 0 t   On pose X = y = ( P)X, ou` X = y0z z3a) On d´efinit la fonction f surR \{(0,0,0)} par :t( X)MXf(x,y,z) =2||X||2 0 2i. Montrer que||X|| =||X || puis que :02 02 024x +2y +8zf(x,y,z) =02 02 02x +y +z3ii. Montrer que 2 et 8 sont respectivement les minimum et maximum de f surR \(0,0,0)et d´eterminer les points en lesquels ils sont atteints.2b)On cherche d´esormais `a ...
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Ecricome 2005, option S.meamscpamoal´di)ea(evpcorrg
EXERCICE 1 3 L’espaceRestdesomuniudtipnoriaercslaTrl.ueusel´esroisa,b,ces:e´,snoope´nnodtnat   a c b   M(a, b, c) =c a+b c b c a 1)mretrenie´DcerisoitratsmI,J,Kceicseotnelodentppended´entsnedsaa,b,c, telles que : M(a, b, c) =aI+bJ+cK 2 23 2 CalculerJ,KetKerD.ete´nimrerunerelationentI,JetK,iasnqilypounueomnˆ annulateur deK. Quelles sont les valeurs propres possibles deK? t 2)Justifier qu’il existe une matriceP∈ M3(R) inversible, telle queD= (P)KPsoit une matrice diagonale. D´eterminerPetD´ietci´ocnosnpdrttelseeseideanne´lvqrsettleeud1,1< d2,2< d3,3`u(o di,jest le coefficient d’indicesi, jdeD.) 2 t 3)E´nceiravtnM=M(a, b, c) en fonction deI,K,K(ertcialamniree´d,mretP)M P. Ende´duirelesvaleurspropresdelamatriceM. Discuter suivant les valeurs dea,b,cle nombre de valeurs propres distinctes deMecr´tpeeris danschaquecaslessous-espacespropresassoci´es. √ √ 4)On suppose dans cette questiona= 4,b= 2,c= 2et on noteM=M(4,2,2).    0 x x    0 0t On poseX=y= (P)Xo,`uX=y 0 z z 3 a)ndOitnoofcntiale´nfsurR\ {(0,0,0)}par : t (X)M X f(x, y, z) = 2 ||X|| 202 i.Montrer que||X||=||X||puis que : 020202 4x+ 2y+ 8z f(x, y, z) = 020202 x+y+z 3 ii.Montrer que 2 et 8 sont respectivement les minimum et maximum defsurR\(0,0,0) etd´eterminerlespointsenlesquelsilssontatteints. 2 b)Oncherched´rosesiam´ra`uoseeldreq´tiuaonB=Md’inconnueB∈ M3(R). i.SoitBuerqMnoe)s.orentuednoitultauqe´lilsn(ioteisexenBetMcommutent. Ende´duirequesiXappartient au sous-espace propreEλdeMrpruelavala`e´hctaatopre λ, alorsBXa`suisneatraitappEλ. Montrer que les vecteurs propres deMcteurspropresdeostne´agelemtnevB. t Justifier alors que Δ = (P)BPest une matrice diagonale. 2 t ii.´eso=(Rilon´ΔequudarteP)M Pd’inconnue Δ et donner le nombre de solutions de 2 le´quationB=M.
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