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Ecricome 2005, option S.meamscpamoal´di)ea(evpcorrg
EXERCICE 1 3 L’espaceRestdesomuniudtipnoriaercslaTrl.ueusel´esroisa,b,ces:e´,snoope´nnodtnat   a c b   M(a, b, c) =c a+b c b c a 1)mretrenie´DcerisoitratsmI,J,Kceicseotnelodentppended´entsnedsaa,b,c, telles que : M(a, b, c) =aI+bJ+cK 2 23 2 CalculerJ,KetKerD.ete´nimrerunerelationentI,JetK,iasnqilypounueomnˆ annulateur deK. Quelles sont les valeurs propres possibles deK? t 2)Justifier qu’il existe une matriceP∈ M3(R) inversible, telle queD= (P)KPsoit une matrice diagonale. D´eterminerPetD´ietci´ocnosnpdrttelseeseideanne´lvqrsettleeud1,1< d2,2< d3,3`u(o di,jest le coefficient d’indicesi, jdeD.) 2 t 3)E´nceiravtnM=M(a, b, c) en fonction deI,K,K(ertcialamniree´d,mretP)M P. Ende´duirelesvaleurspropresdelamatriceM. Discuter suivant les valeurs dea,b,cle nombre de valeurs propres distinctes deMecr´tpeeris danschaquecaslessous-espacespropresassoci´es. √ √ 4)On suppose dans cette questiona= 4,b= 2,c= 2et on noteM=M(4,2,2).    0 x x    0 0t On poseX=y= (P)Xo,`uX=y 0 z z 3 a)ndOitnoofcntiale´nfsurR\ {(0,0,0)}par : t (X)M X f(x, y, z) = 2 ||X|| 202 i.Montrer que||X||=||X||puis que : 020202 4x+ 2y+ 8z f(x, y, z) = 020202 x+y+z 3 ii.Montrer que 2 et 8 sont respectivement les minimum et maximum defsurR\(0,0,0) etd´eterminerlespointsenlesquelsilssontatteints. 2 b)Oncherched´rosesiam´ra`uoseeldreq´tiuaonB=Md’inconnueB∈ M3(R). i.SoitBuerqMnoe)s.orentuednoitultauqe´lilsn(ioteisexenBetMcommutent. Ende´duirequesiXappartient au sous-espace propreEλdeMrpruelavala`e´hctaatopre λ, alorsBXa`suisneatraitappEλ. Montrer que les vecteurs propres deMcteurspropresdeostne´agelemtnevB. t Justifier alors que Δ = (P)BPest une matrice diagonale. 2 t ii.´eso=(Rilon´ΔequudarteP)M Pd’inconnue Δ et donner le nombre de solutions de 2 le´quationB=M.