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Ecricome 2007 mathematiques classe prepa hec (s)

7 pages
1. EXERCICE.1. A l’aide de dØveloppements limitØs usuels que l’on rappellera clairement,montrer que lorsque x est au voisinage de 0 on ax 2 2ln(2 e ) = x x +o(x ):1. Montrer que pour tout entier k supØrieur ou Øgal à 2, on a :1=k2 e 2]0;1[:1=k2. EndØduirelesignede ln(2 e ), pourtoutentierk supØrieurouØgalà 2.1=k3. Quelle est la nature de la sØrie de terme gØnØral ln(2 e ) ?4. Pour n entier supØrieur ou Øgal à 2, on posenX1=kV = ln(2 e ) et u = expV :n n nk=2DØterminerlim V et lim u :n nn!+1 n!+11. Montrer que nX 11=kln(nu ) = ln(2 e ) ln(1 ) :nkk=21=k2. DØterminer un Øquivalent, quand k tend vers +1, de ln(2 e )1ln(1 ):kK3. En dØduire que u est Øquivalent, quand n tend vers +1, à avecnnK > 0.Quelle est la nature de la sØrie de terme gØnØral u ?n2. On posenXkS = ( 1) u :n kk=21. Etudier le sens de variations de la suite (u ) .n n>22. Montrer que les suites (S ) et (S ) sont deux suites adja-2n n>1 2n+1 n>1centes.n3. En dØduire la nature de la sØrie de terme gØnØral ( 1) u .n2. EXERCICE.M (R) dØsigne l’ensemble des matrices carrØes d’ordre n> 2, à coe¢ cients rØels.nPour tout ØlØmentA = (a ) deM (R), on appelle “trace deA”, et on noteij 16i;j6n nTr(A), la somme des ØlØments diagonaux, c’est-à-dire :nXTr(A) = a :iii=1On admet que Tr est une application linØaire deM (R) dansR telle quen8A2M (R); 8B 2M (R); Tr(AB) =Tr(BA):n ntOn note A la transposØe de la matrice A.1. Soit ’ l’application dØ…nie surM (R)M (R) par :n nt t ...
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1. EXERCICE. 1. A laide de développements limités usuels que lon rappellera clairement, montrer que lorsquexest au voisinage de0on a x2 2 ln (2e) =xx+o(x):
1. Montrerque pour tout entierksupérieur ou égal à2, on a :
1=k 2e2]0;1[: 1=k 2. Endéduire le signe deln (2e), pour tout entierksupérieur ou égal à2. 1=k 3. Quelleest la nature de la série de terme généralln (2e)? 4. Pournentier supérieur ou égal à2, on pose n X 1=k Vn= ln(2e)etun= expVn: k=2 Déterminer limVnetlimun: n!+1n!+1 1. Montrerque   n X 1 1=k ln (nunln (2) =e)ln (1): k k=2 1=k 2. Déterminerun équivalent, quandktend vers+1, deln (2e)1 ln (1): k K 3. Endéduire queunest équivalent, quandntend vers+1, àavec n K >0. Quelle est la nature de la série de terme généralun? 2. Onpose n X k Sn= (1)uk: k=2
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