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La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
EXERCICE 1 0 1 1a2a1 a1 1a B C SoitaOn considère la matriceun réel positif ou nul.A(a) = @ A 0 0a1 0 01 0 1. MontrerqueA(0)admet1et1comme seules valeurs propres. Donner les sous-espaces propres correspondants. Dans la suite, on supposea >0: 2. Montrerque les valeurs propres deA(a)sont les réelssolutions de lune des équations :
2 22 = (a1)et+a+ 1 = 0:
(a) Déduirede la question précédente la valeur deapour laquelleA(a)nest pas inversible. (b) Pourcette valeur, dire siA(a)est diagonalisable.
3. Onsuppose dans cette question quea >2:
(a) MontrerqueA(a)possède4valeurs propres distinctes deux à deux. (b) Endéduire queA(a)est diagonalisable.
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