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EDHEC 1999 mathematiques classe prepa hec (ece)

4 pages
EDHECSchool of managementECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORDConcours d’admission sur classes prØparatoiresMATHEMATIQUESOption ØconomiqueAnnØe 1999La prØsentation, la lisibilitØ, l orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document : seule ul tilisation d’une rŁgle graduØe est autorisØe.L utilisation de toute calculatrice et de tout matØriel Ølectronique est interdite.EXERCICE 1 0 11 a 2 a 1B Ca 1 1 aB CSoit a un rØel positif ou nul. On considŁre la matrice A(a) =@ A0 0 a 10 0 1 01. Montrer que A(0) admet 1 et 1 comme seules valeurs propres.Donner les sous-espaces propres correspondants.Dans la suite, on suppose a> 0:2. Montrer que les valeurs propres de A(a) sont les rØels solutions de ul ne des Øquations :2 2 2 = (a 1) et +a +1 = 0:(a) DØduire de la question prØcØdente la valeur de a pour laquelle A(a) n est pas inversible.(b) Pour cette valeur, dire si A(a) est diagonalisable.3. On suppose dans cette question que a> 2:(a) Montrer que A(a) possŁde 4 valeurs propres distinctes deux à deux.(b) En dØduire que A(a) est diagonalisable.1/466EXERCICE 2Pour tout rØel a, on considŁre la fonction f deRR dansR, dØ…nie par :a 2 y8(x;y)2RR;f (x;y) = 1+y +xy +ax eaPartie 1 : Øtude des extrema de ...
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EDHEC School of management
ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD Concours dadmission sur classes préparatoires
MATHEMATIQUES Option économique Année 1999
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
EXERCICE 1 0 1 1a2a1 a1 1a B C SoitaOn considère la matriceun réel positif ou nul.A(a) = @ A 0 0a1 0 01 0 1. MontrerqueA(0)admet1et1comme seules valeurs propres. Donner les sous-espaces propres correspondants. Dans la suite, on supposea >0: 2. Montrerque les valeurs propres deA(a)sont les réelssolutions de lune des équations :
2 22 = (a1)et+a+ 1 = 0:
(a) Déduirede la question précédente la valeur deapour laquelleA(a)nest pas inversible. (b) Pourcette valeur, dire siA(a)est diagonalisable.
3. Onsuppose dans cette question quea >2:
(a) MontrerqueA(a)possède4valeurs propres distinctes deux à deux. (b) Endéduire queA(a)est diagonalisable.
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