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EDHEC 1999 S
Vendredi 7 mai 1999, de 8h `a 12h
L’´enonc´e comporte 4 pages.
Exercice 1
Pour chaque entier naturel
,
o
n
d
´efinit la fonction
par :
.
1.
´
Etude de
.
a) Montrer que
,
e
s
t
d
´erivable sur son domaine et donner son sens de variation.
b) D´eterminer
.
c) En d´eduire que pour chaque entier naturel
, il existe un unique r´eel, not´e
,
´el´ement de
, tel que
.
2.
´
Etude de la suite
.
a) Montrer que
.
b) Montrer que:
.
3. On pose
a) Montrer que
.
b) Calculer
.
c) D´eduire de l’encadrement obtenu en 2.b que
Exercice 2
Une urne contient une boule noire et
boules blanches,
d´esignant un entier sup´erieur ou
´egal `a
. On vide l’urne en effectuant des tirages d’une boule de la mani`ere suivante : le premier
tirage s’effectue sans remise, le deuxi`eme s’effectue avec remise, le troisi`eme s’effectue sans remise,
le quatri`eme s’effectue avec remise... D’une mani`ere g´en´erale, les tirages d’ordre impair s’effectuent
sans remise et les tirages d’ordre pair s’effectuent avec remise de la boule tir´ee.
1.
a) Quel est le nombre total
de tirages effectu´es lors de cette ´epreuve?
b) Pour
´el´ement de
, combien reste-t-il de boules avant le
-i`eme tirage?
Combien en reste-t-il avant le
-i`eme tirage?
On d´esigne par
la variable al´eatoire qui vaut
si la boule noire est obtenue au
-i`eme tirage
(que ce soit la premi`ere fois ou non) et
sinon. On d´esigne par
la variable al´eatoire ´egale au
nombre d’apparitions de la boule noire lors de cette ´epreuve.
2.
a) Calculer
,
.
b) Pour tout entier naturel
de
, calculer
et
.
c) En d´eduire la loi suivie par toutes les variables
.
1