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ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD Concours d'admission sur classes préparatoires ___________________ MATHEMATIQUES Option scientifique Mardi 20 mai 2003, de 8h à 12h __________La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Exercice 1 m k åk Pdésignant un polynôme de IR[X] tel queP=a X, on rappelle que, pour toute matrice k=0 m Ades(IR),P(A) =a0I+a1A+ ... +amA, oùIdésigne la matrice unité des(IR). M M On admet que siPetQsont deux polynômes de IR[X] et siAest une matrice des(IR), alors: M (P Q)(A) =P(A)Q(A). On se propose de déterminer explicitement le terme général de la suite (un) définie par : u0= 0,u1= 1,u2et la relation, valable pour tout= 1nde IN,un+3= 4un+2– 5un+1+ 2un. æun+2ö ç ÷ Pour ce faire, on pose, pour toutnde IN,Xn=u. ç ÷ n+1 ç ÷ èuø n 1) a.Écrire la matriceAde3:(IR), indépen,Xn+1=A Xn. ndante den, telleque" ÎINM 2  b.Vérifier que (AI) (A– 2I) = 0. 2 2) On considère le polynômePde IR[X] défini parP(X) = (X– 1)(X– 2).  a.Justifier l’existence et l’unicité d’un couple (Qn,Rn) de IR[X]´IR2[X], tel que : n "nÎIN,X=P Qn+Rn.  b.Montrer que pour tout entier natureln, il existe des réelsan,bnetcntels que : 2 Rn(X) =an+bn(X– 1)+cn(X– 1). n  c.Établir que :"nÎIN,an= 1,bn=netcn= 2n– 1.
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