Cet ouvrage fait partie de la bibliothèque YouScribe
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le lire en ligne
En savoir plus

EDHEC 2005 mathematiques classe prepa hec (ece)

3 pages
EDHEC 2005Option ´economiqueExercice 1 1 0 0 1 0 0 0 0On note J = , J = , J = ,et J = , et on rappelle que la1 2 3 40 0 0 0 1 0 1 0famille(J ,J ,J ,J ) est une base deM (R).1 2 3 4 2 a bSoit f l’application qui, a` toute matrice M = deM (R), associe f (M) =M +(a+d)I2c d 1 0ou` I d´esigne la matrice0 11. Montrer que f est un endomorphisme deM (R).22. a) Exprimer f (J ), f (J ), f (J ), et f (J ) comme combinaisons lin´eaires de J , J , J et1 2 3 4 1 2 3J .4 2 0 0 1 0 1 0 0 b) V´erifier que la matrice A de f dans la base (J ,J ,J ,J ) est A =1 2 3 4  0 0 1 01 0 0 2c) Justifier que f est diagonalisable.3. a) Montrer que (J −J ,J ,J ,I) est une base deM (R)1 4 2 3 2´b) Ecrire la matrice D de f dans cette base.−1c) En d´eduire l’existence d’une matrice P inversible telle que A =P DP−14. a) D´eterminer la matrice P .n n −1b) Montrer que, pour tout n deN, A =P D Pnc) En d´eduire explicitement la matrice A .Exercice 22x y +12 2 ( )Soit f la fonction d´efinie surR par : ∀(x,y)∈R , f (x,y) =xe2 21. Justifier que f est de classe C surR .2. a) D´eterminer les d´eriv´ees partielles premi`eres de fb) En d´eduire que le seul point en lequel f est susceptible de pr´esenter un extremum localest A = (−1,0).3. a) D´eterminer les d´eriv´ees partielles secondes de f.b) Montrer qu’effectivement, f pr´esente un extremum local en A. En pr´eciser la nature et lavaleur.2 x4. a) Montrer que: ∀(x,y)∈R , f (x,y)≥xe .xb) En ´etudiant la ...
Voir plus Voir moins
EDHEC 2005 Optione´conomique
Exercice 1      1 00 10 00 0 On noteJ1=, J2=, J3=,etJ4=,et on rappelle que la 0 00 01 01 0 famille(J1, J2, J3, J4) est une base deM2(R).   a b Soitfrtamecita`,etuoationquilapplicM= deM2(R),associef(M) =M+ (a+d)I c d   1 0 o`uIecirtamagnel´esid 0 1 1. Montrerquefest un endomorphisme deM2(R). 2. a)Exprimerf(J1), f(J2), f(J3),etf(J4edseria)ocmmceisnabiom´einslonJ1, J2, J3et J4.   2 0 0 1 0 1 0 0   b)V´erierquelamatriceAdefdans la base (J1, J2, J3, J4) estA=   0 0 1 0 1 0 0 2 c) Justifierquefest diagonalisable. 3. a)Montrer que (J1J4, J2, J3, I) est une base deM2(R) ´ b) Ecrirela matriceDdefdans cette base. 1 c)Ende´duirelexistencedunematricePinversible telle queA=PP D 1 4.a)D´eterminerlamatriceP. n n1 b) Montrerque, pour toutndeN,A=P DP n c)Ende´duireexplicitementlamatriceA.
Exercice 2 2 ( ) 2 2x y+1 Soitfeinrusctiond´elafonRpar :(x, y)R, f(x, y) =x e 2 2 1. Justifierquefest de classeCsurR. 2.a)D´eterminerlesde´riv´eespartiellespremi`eresdef b)End´eduirequeleseulpointenlequelfseaclmuolemtrexunerntse´erpedelbitpecsust estA= (1,0). 3.a)D´eterminerlesde´riv´eespartiellessecondesdef. b) Montrerqu’effectivement,funextrempr´esentenmuolacelAtunaetreiseclaerE.pn´ral valeur. 2x 4. a)Montrer que:(x, y)R, f(x, y)x e. x b)Ene´tudiantlafonctiongruseine´dRparg(x) =,x eortme´vuoccnlurequelextremu 2 a`laquestion2b)estunextremumglobaldefsurR.
EDHEC eco 2005
Page 1/ 3
Un pour Un
Permettre à tous d'accéder à la lecture
Pour chaque accès à la bibliothèque, YouScribe donne un accès à une personne dans le besoin