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EDHEC 2005 Optione´conomique
Exercice 1      1 00 10 00 0 On noteJ1=, J2=, J3=,etJ4=,et on rappelle que la 0 00 01 01 0 famille(J1, J2, J3, J4) est une base deM2(R).   a b Soitfrtamecita`,etuoationquilapplicM= deM2(R),associef(M) =M+ (a+d)I c d   1 0 o`uIecirtamagnel´esid 0 1 1. Montrerquefest un endomorphisme deM2(R). 2. a)Exprimerf(J1), f(J2), f(J3),etf(J4edseria)ocmmceisnabiom´einslonJ1, J2, J3et J4.   2 0 0 1 0 1 0 0   b)V´erierquelamatriceAdefdans la base (J1, J2, J3, J4) estA=   0 0 1 0 1 0 0 2 c) Justifierquefest diagonalisable. 3. a)Montrer que (J1J4, J2, J3, I) est une base deM2(R) ´ b) Ecrirela matriceDdefdans cette base. 1 c)Ende´duirelexistencedunematricePinversible telle queA=PP D 1 4.a)D´eterminerlamatriceP. n n1 b) Montrerque, pour toutndeN,A=P DP n c)Ende´duireexplicitementlamatriceA.
Exercice 2 2 ( ) 2 2x y+1 Soitfeinrusctiond´elafonRpar :(x, y)R, f(x, y) =x e 2 2 1. Justifierquefest de classeCsurR. 2.a)D´eterminerlesde´riv´eespartiellespremi`eresdef b)End´eduirequeleseulpointenlequelfseaclmuolemtrexunerntse´erpedelbitpecsust estA= (1,0). 3.a)D´eterminerlesde´riv´eespartiellessecondesdef. b) Montrerqu’effectivement,funextrempr´esentenmuolacelAtunaetreiseclaerE.pn´ral valeur. 2x 4. a)Montrer que:(x, y)R, f(x, y)x e. x b)Ene´tudiantlafonctiongruseine´dRparg(x) =,x eortme´vuoccnlurequelextremu 2 a`laquestion2b)estunextremumglobaldefsurR.
EDHEC eco 2005
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