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            ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD    Concours d'admission sur classes préparatoires  ____________________    MATHEMATIQUES Option scientifique  Vendredi 13 mai 2005 de 8h à 12h  _____________     La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.  L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.   Exercice 1 Dans cet exercice,nest un entier naturel supérieur ou égal à 2. On désigne parIla matrice unité deMn(IR). 1) On notetrlinéaire qui à toute matrice delapplication Mn(IR) associe sa trace, cest-à-dire la somme de ses éléments diagonaux.  a) Montrer que Im tr= .RI   b) En déduire la dimension de Ker tr.  c) Établir queMn(IR) = Ker tr Vect(I). 2) Soitf lapplication qui, à toute matriceMdeMn(IR) associe f (M) =M+tr(M) I,  a) Montrer quefest un endomorphisme deMn(IR).  b) Utiliser la première question pour déterminer les valeurs propres def. En déduire quef est un automorphisme diagonalisable deMn(IR). 3) Soitg lapplication qui, à toute matriceM deMn(IR) associeg (M) =M +tr(M) J, oùJ désigne une matrice non nulle deMn(IR) dont la trace est nulle. On admet quegest un endomorphisme deMn(IR).  a) Établir que le polynômeX2– 2 X+ 1 est un polynôme annulateur deg.
 
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