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ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD  Concours d'admission sur classes préparatoires  ___________________   MATHEMATIQUES Option scientifique  Mardi 9 mai 2006 de 8h à 12h ___________________    La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.  L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.    Exercice 1  Dans cet exercice, m  désigne un entier naturel non nul. On note id  (respectivement θ  ) lendomorphisme identité (respectivement lendomorphisme nul) du  C l  - espace vectoriel l C   m et on considère un endomorphisme f de  l C  m vérifiant : (  f    λ 1  id ) o  (  f    λ 2  id ) = θ  , où λ 1 et λ 2 sont deux complexes distincts. 1) a) Véri 1 fier que λ 2 − λ 1 ( (  f    λ 1  id )  (  f    λ 2  id ) ) = id .  b) En déduire que : l C   m = Ker  (  f    λ 1  id ) Ker  (  f    λ 2  id ).  c) Conclure que f est diagonalisable et donner ses valeurs propres (on sera amené à étudier trois cas). Dans la suite de lexercice, on désigne par n un entier naturel et lon se propose de montrer quil nexiste pas de matrice de M 2 n +1 (IR) telle que A  2 =  I , où I désigne la matrice diagonale de M 2 n +1 (IR) dont les éléments diagonaux valent 1. 2) Trouver une matrice A de M 2 n +1 ( l  C) telle que A  2 =  I . 3) Dans cette question, on suppose quil existe une matrice A de M 2 n +1 (IR) telle que A 2 =  I .  a) Utiliser la première question pour montrer que A est diagonalisable dans M 2 n +1 ( l C  ) et que ses valeurs propres sont i et  i .  b) Pour toute matrice M = ( m i ,  j ) 1 i p de M p ,  q (  )C l , on note la matrice ( m i , j ) 1 i p . 1 j q 1 j q On note E i et E i les sous-espaces propres de A associés aux valeurs propres i et  i . Montrer que X   E i   X  E i .  c) En déduire que, si ( u 1 , u 2 , ..., u p ) est une base de E i , alors ( u 1 , u 2 , ..., u p ) est une famille libre de E i . Conclure que dim  E i = dim  E i .  d) Établir enfin le résultat demandé.   
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