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Edhecl 2007 mathematiques classe prepa hec (ece)

4 pages
EDHEC 2007´OPTION : ECONOMIQUE´MATHEMATIQUESExercice 1tPour toute matrice M ´el´ement de M (R), on note M la matrice transpos´ee de M, d´efinie de la2 a b a ctfa¸con suivante : si M = alors M = .c d b d 1 0 0 1 0 0 0 0On pose E = , E = , E = et E =1 2 3 40 0 0 0 1 0 0 1On rappelle queB =(E ,E ,E ,E ) est une base deM (R).1 2 3 4 2tOn note ϕ l’application qui `a toute matrice M deM (R) associe ϕ(M) =M + M .21. a) Montrer que ϕ est un endomorphisme deM (R).2b) Ecrire la matrice A de ϕ dansB.c) En d´eduire que ϕ est diagonalisable et non bijectif.2 ∗ n n−12. calculer A et en d´eduire que , pour tout n deN :A = 2 A3. a) Monterr que Imϕ = Vect(E , E +E , E ), puis ´etablir que dimIm(ϕ) = 3.1 2 3 4b) En d´eduire la dimension de kerϕ puis d´eterminer une base de kerϕ.c) Etablir que Imϕ est le sous espace propre associ´e `a la valeur propre 2d) Donner ,pour r´esumer, les valeurs propres de ϕ ainsi qu’une base de chacun des sous-espaces propres associ´es.Exercice 2On admet que si Z et Z sont deux variables al´eatoires a` densit´e, d´efinies sur le mˆeme espace1 2probabilis´e, alors leur covariance, si elle existe, est d´efinie par :Cov(Z ,Z ) =E(Z Z )−E(Z )E(Z )1 2 1 2 1 2On admet ´egalement que si Z et Z sont ind´ependantes alors leur covariance est nulle.1 2Onconsid`eredeuxvariablesal´eatoiresr´eellesX etU d´efiniessurlemˆemeespaceprobabilis´e(Ω,A,P),ind´ependantes, X suivant la loi normaleN (0,1) et U suivant la loi discr`ete uniforme ...
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EDHEC 2007 ´ OPTION : ECONOMIQUE ´ MATHEMATIQUES
Exercice 1 t Pour toute matriceM´el´tdeemenM2(R),on noteMtrceriat´eosspanedelmaM,e´daledein   a ba c t fac¸onsuivante:siM= alorsM=. c db d      1 00 10 00 0 On poseE1=, E2=, E3= etE4= 0 00 01 00 1 On rappelle queB= (E1, E2, E3, E4) est une base deM2(R). t On noteϕacilnoit`iuquotatematricelppaMdeM2(R) associeϕ(M) =M+M . 1. a)Montrer queϕest un endomorphisme deM2(R). b) Ecrirela matriceAdeϕdansB. c)End´eduirequeϕest diagonalisable et non bijectif. 2n n1 2. calculerAtourtou,peuqeriude´dnetendeN:A= 2A 3. a)Monterr que Imϕ(= VectE1, E2+E3, E4),uis´pilqrtebaIm(meuidϕ) = 3. b)End´eduireladimensiondekerϕpuisd´etermineurenabesedekrϕ. c) Etablirque Imϕesseltesuocapsorpelava´i`esscorpaepre2rproaleu d)Donner,pourre´sumer,lesvaleurspropresdeϕainsi qu’une base de chacun des sous-espacespropresassocie´s.
Exercice 2 On admet que siZ1etZ2a`edrisee´d,sntiablevarieatosal´pseeecaxuedtnosn´essieleuremmˆ probabilis´e,alorsleurcovariance,sielleexiste,estde´niepar: Cov (Z1, Z2) =E(Z1Z2)E(Z1)E(Z2)
Onadmete´galementquesiZ1etZ2e.eestnullvoraaicnrolsuecrntdaalesd´ineneptnos Onconsid`eredeuxvariablesal´eatoiresr´eellesXetU´e(Ωilisobabceprd´nieemeˆapseussemelr,A,P), ind´ependantes,Xsuivant la loi normaleN(0,1) etUusvinaltlaioidscr`eteuniformesru{−1,1}. On poseY=U Xet on admet queYenavseutellairbaoire´eatnsit`adene´d,e´uaelleeiurisss lespaceprobabilis´e(Ω,A,P). 1.a)Enutilisantlaformuledesprobabilite´stotales,montrerque:
P (Yx([) = PU= 1][Xx]) + P ([U=1][X≥ −x])
b)Ende´duirequeYueiqsltiueˆmaolemX. 2.a)Calculerlesp´erancedeUpuis montrer queE(XY) = 0 b)Ende´duirequeCov(X, Y) = 0. Rx2 +2 21 3. a)Rappeler la valeur deE(Xuetierenqd´e)deux e= 2π 2 0 2
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