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EM LYON 2007 concours Economie

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EM LYON 2007 concours Economie

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Ajouté le : 21 juillet 2011
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Exercice 1 Onconsid`erelamatricecarre´edordretroissuivante:   1 1 0 2 2 1 1   A= 0 2 2 1 1 0 2 2 1. Montrer,sans calcul, queAest diagonalisable. 2.De´terminerunematricediagonaleDeiruq´mteteystemenursveleibriatincePd,remi`eepre    1 ligne111etdedeuxie`meligne11 0, telles queA=PP D. 1 CalculerP. n 3.De´terminer,pourtoutnN,la matriceA.´eesrspatseneml´ 4. Soientu0, v0, w0letseuqssotilepsnulufiosisnotrosr´embreu0+v0+w0= 1.    u0un    On noteX0=v0et, pour toutnN, Xn=vnarlpaien´eednnolocecirtamal w0wn relationdere´currence:Xn=A Xn1. n a) Montrer,pour toutnN:Xn=A X0 b)End´eduire,pourtoutnN:   n 1 11 un= +u0− − 3 32    n 1 11 vn= +v0− − 3 32   n 1 11 wn= +w0− − 3 32 c)De´terminerleslimitesrespectivesu, v, wdeun,vn,wnlorsque le nombre entierntend vers l’infini. q 2 22 On note, pour toutnN:dn= (unu() +vnv() +wnw) 1 d) Montrer,pour toutnN:dnn1 2 2 e)D´eterminerunentiernaturelntel que :dn10
Exercice 2 Pre´liminaire On donne : 0,69<ln 2<0,70. Onconside`relapplication: 2 g+: ]0;[R, x7→g(x) =x+ lnx 1. Montrerqueg+est continue et strictement croissante sur ]0;deslimitesmrnireele[dte´etg en 0 et en +2.Montrerquele´quationg(x) = 0, d’inconnuex]0; +[, admet une solution et une seule. On noteαuqseuinl´eteetecndioutol.noitauq 1 3. Montrer:< α <1 2
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