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Programme ESC dE.M.LYON
CONCOURS DENTREE 1999
MATHEMATIQUES
1ère épreuve (option économique)
Les candidats ne doivent pas faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Exercice 1 R2 n Pour tout entier natureln, on note :wn= cost dt. 0 1. Calculerw0etw1. 2. Montrerque la suite(un)n2Nest décroissante. 3. Montrerpour tout entier natureln:wn>0. En déduire que la suite(wn)n2Nest convergente. 4. Soitn2N. Alaide dune intégration par parties, montrer que: Z2 n2 wn+2= (n+ 1)costsint dt 0 n+ 1 En déduire :w=w. n+2n n+ 2 5. Montrerpour tout entier natureln, en utilisant2.et4.: n+ 1 0< wn6wn+16wn n+ 2
En déduire :wn+1wnquandn!+1. 6. Montrer,en utilisant4., que la suite(u)de terme généralu= (n+ 1)w west constante. n n2Nnn n+1 r En déduire :wnquandn!+1. 2n
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