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EML 1999 mathematiques classe prepa hec (ecs)

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Programme ESC d’E.M.LYONCONCOURS D’ENTREE 1999MATHEMATIQUES1`ere ´epreuve (option scientifique)Les candidats ne doivent pas faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Probl`eme 1Notations:• n d´esigne un entier sup´erieur ou ´egal a` 3•M (R) est l’ensemble des matrices carr´ees d’ordre n a` coefficients r´eels.n  x1 . n.• On identifie les matrices unicolonnes X = d’ordre n avec les vecteurs deR . .xnn•R est muni du produit scalaire canonique not´e <.,.>.. d´efini par:   x y1 1nP   . .. .si X = et Y = , alors = x y .    k k. .k=1x yn ntEn identifiant les matrices deM (R) avec les r´eels, on a: = XY.1• I d´esigne la matrice identit´e deM (R).n n• A est la matrice deM (R) dont le terme g´en´eral a est ´egal `a 1 si|i−j| = 1 et ´egal `a 0 sinon.n n i,j   0 1 0 00 1 0 1 0 1 0   Ainsi, par exemple, A = 1 0 1 et A = .3 4  0 1 0 10 1 00 0 1 01. Montrer que A est diagonalisable.3D´eterminer une matrice inversible P de M (R) et une matrice diagonale D de M (R) telles que3 3−1A =PDP .32. Soit θ ∈]0;π[. On d´esigne par S l’ensemble des suites r´eelles (s ) telles que s = 0 et pour toutθ k k∈N 0entier naturel k, s −2cosθ s +s = 0.k+2 k+l ksinkθMontrer que, si la suite (s ) appartient `a S , alors pour tout entier naturel k: s =s .k k∈N θ k 1sinθEn d´eduire que S est un espace vectoriel ...
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Programme ESC d’E.M.LYON CONCOURS D’ENTREE 1999
MATHEMATIQUES 1e`ree´preuve(optionscientique)
Lescandidatsnedoiventpasfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel ´electroniqueestinterdite. Seulelutilisationdunere`glegradue´eestautoris´ee.
Proble`me1 Notations: n´da3´preeiruuoe´ag`lesigneunentiersu Mn(Rsedelbmesecirtam)nsetles´eescarrdredorneica`oc´reenest.sl   x1  n nnesXvecteurs de= esR. On identifie les matrices unicolo.d’ordrenavec l xn n Rduroupiduntmesot´equenonineraclaiatics< .,. > ..ipard´en:    x1y1 n P    siX= etY= ,alors< X,Y>=xkyk. . .k=1 xnyn t En identifiant les matrices deM1(Rclver´eslseena,o:a)>< X,Y=XY. Inciieamrtenalsegideit´ed´edntMn(R). Anest la matrice deMn(Rlagee´´nrermtelentdo)ai,j1siset´egal`a|ij|0a`loniste1=age´n.     0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0    Ainsi, par exemple,A3= 10 1etA4= .   0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1. MontrerqueA3est diagonalisable. De´terminerunematriceinversiblePdeM3(R) et une matrice diagonaleDdeM3(R) telles que 1 A3=P DP. 2. Soitθ]0;πgnep´esi.Ond[raSθel´es(leuisssrtebmesedelnelsk)kNtelles ques0= 0 et pour tout entier naturelk,sk+22 cosθ sk+l+sk= 0. sinMontrer que, si la suite (sk)kNarappt`atienSθ, alors pour tout entier naturelk:sk=s1. sinθ Ende´duirequeSθseutenpscaveectorielr´eeldedneminois.1
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