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Programme ESC d’E.M.LYON CONCOURS D’ENTREE 1999
MATHEMATIQUES 1e`ree´preuve(optionscientique)
Lescandidatsnedoiventpasfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel ´electroniqueestinterdite. Seulelutilisationdunere`glegradue´eestautoris´ee.
Proble`me1 Notations: n´da3´preeiruuoe´ag`lesigneunentiersu Mn(Rsedelbmesecirtam)nsetles´eescarrdredorneica`oc´reenest.sl   x1  n nnesXvecteurs de= esR. On identifie les matrices unicolo.d’ordrenavec l xn n Rduroupiduntmesot´equenonineraclaiatics< .,. > ..ipard´en:    x1y1 n P    siX= etY= ,alors< X,Y>=xkyk. . .k=1 xnyn t En identifiant les matrices deM1(Rclver´eslseena,o:a)>< X,Y=XY. Inciieamrtenalsegideit´ed´edntMn(R). Anest la matrice deMn(Rlagee´´nrermtelentdo)ai,j1siset´egal`a|ij|0a`loniste1=age´n.     0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0    Ainsi, par exemple,A3= 10 1etA4= .   0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1. MontrerqueA3est diagonalisable. De´terminerunematriceinversiblePdeM3(R) et une matrice diagonaleDdeM3(R) telles que 1 A3=P DP. 2. Soitθ]0;πgnep´esi.Ond[raSθel´es(leuisssrtebmesedelnelsk)kNtelles ques0= 0 et pour tout entier naturelk,sk+22 cosθ sk+l+sk= 0. sinMontrer que, si la suite (sk)kNarappt`atienSθ, alors pour tout entier naturelk:sk=s1. sinθ Ende´duirequeSθseutenpscaveectorielr´eeldedneminois.1
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