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Ecole Sup´
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Concours d’entr´ee 2000
Math´ematiques
1`ere ´epreuve (option ´economique)
Mardi 2 mai 2000 de 8 heures `
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Exercice 1 :
On consid`ere une matrice carr´ee d’ordre 3 :
et l’endomorphisme
de
de matrice
dans la base canonique de
On concid`ere, pour tout nombre r´eel
la matrice carr´ee r´eelle d’ordre 3 :
1.
(a) D´eterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de
(b) Montrer que
est diagonalisable. D´eterminer une matrice r´eelle diagonale
d’ordre trois et une matrice
r´eelle inversible
d’ordre trois telles que
(c) En d´eduire que, pour tout nombre r´eel
, il existe une matrice r´eelle diagonale
d’ordre trois, que l’on
calculera, telle que
(d) Quel est l’ensemble des nombres r´eels
tels que
soit inversible ?
2. On se propose, dans cette question, de d´eterminer l’ensemble des nombres r´eels
tels qu’il existe une matrice
carr´ee r´eelle d’ordre trois v´erifiant
(a) Soient
un nombre r´eel et
une matrice carr´ee r´eelle d’ordre trois tels que
i. Montrer que
commute avec
puis que
commute avec
ii. On note
l’endomorphisme de
de matrice
dans la base canonique de
D´eduire de la question
pr´ec´edente que tout vecteur propre de
est vecteur propre de
iii. Etablir qu’il existe une matrice r´eelle diagonale
d’ordre trois telle que
et montrer :
iv. En d´eduire :
(b) R´eciproquement, montrer que, pour tout nombre r´eel
sup´erieur ou ´egal `a 2, il existe une matrice carr´ee r´eelle
d’ordre trois telle que
(c) Conclure.
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