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Programme ESC d’E.M.LYON CONCOURS D’ENTREE 2000
MATHEMATIQUES 1e`ree´preuve(optionscientique)
Lescandidatsnedoiventpasfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel ´electroniqueestinterdite. Seulelutilisationdunere`glegradue´eestautoris´ee.
Proble`me1 Notations: n´d.a3´preeiruuoe´ag`lesigneunentiersu Mn(Redelbmesecirtamsenlst)er´eescarrdresdoneoc`carse´eitn.sleInntde´eittrmaeiicgisealen´d t deMn(Ree´tontseMenematricos´eeduaLrtnaps.)M. n Ruiodprdunimustet´euenonoqicenaalristac< , >seinipard:´x= (x1,x2,...,xn) et y = n P (y1,y2,...,yn) alors,< x,y >=xkyk. k=1    x1y1    notant les matrices unicolonnesX= eten confondant les matrices En.etY=.xnyn t d’ordre 1 et les scalaires, on a alors< x,y >=XY.eetsee´tonLaco´ieea`onmraesstscalairceprodui k.k. n B= (e1,e2,...,enedeuqinoelgn)sdi´eanecasabR. n On rappelle que la matrice de passagePd’une base orthonormale deRnua`tuaeaberseorthonormale n t1 deR´vreieP=P. LespartiesIetIIsontind´ependantes.
Partie I. 1.Onconsid`erelesmatricessuivantesdeM3(R) :  √ √5 2 23 12 1√ √    S5 2= 2, P=√ −3 12 6 2 2 502 2 (a) JustifierqueSest diagonalisable dansM3(R). t (b) Montrerqu’il existe une matrice diagonaleDdeM3(R) telle queS=P DP.   2 1 0   2.Onconside`relamatriceM=021deM3(R). 1 0 2 3 (a)V´erierque(M2I3) =I3. (b)Mest-elle diagonalisable dansM3(R)? t (c) Calculerle produitM M. 1