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Programme ESC dE.M.LYON
CONCOURS DENTREE 2001
MATHEMATIQUES
1ère épreuve (option économique)
Les candidats ne doivent pas faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Exercice 1 On considère la matrice carrée réelle dordre quatre : 0 1 1 0 01 1 0 01 BC A= @ A 0 1 01 0 0 11 4 4 et lendomorphismefdeRdont la matrice dans la base canoniqueB= (e1; e2; e3; e4)deRestA. 1.Montrer queAnest pas inversible.En déduire que0est valeur propre deA. 2 3 4 2.(a) CalculerA,A,A. (b) Etablirque0est la seule valeur propre def. (c) Déterminerla dimension du noyau def. (d) Est-cequefest diagonalisable ? 3.On note"1=e1,"2=f("1); "3=f("2); "4=f("3), etC= ("1; "2; "3; "4). 4 (a) MontrerqueCest une base deR. 4 (b) Déterminerla matriceNdefrelativement à la baseCdeR. 41 2 4.Existe-t-il un automorphismegde lespace vectorielRtel quegfg=f?
Exercice 2 On considère lapplicationf: [0;+1[!R, dénie, pour toutxde[0; +1[, par : ( x six >0 x f(x) =e1 1six= 0 1. (a)Montrer quefest continue sur[0; +1[.
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