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EML 2001 mathematiques classe prepa hec (ecs)

3 pages
Programme ESC d’E.M.LYONCONCOURS D’ENTREE 2001MATHEMATIQUES1`ere ´epreuve (option scientifique)Les candidats ne doivent pas faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Probl`eme 11 1On note I = [− ; ].2 2Le but du probl`eme est la construction d’une application f : I 7→R, continue et telle que:xZ1 2∀x∈ I, f(x) = 1+ (f(t)+f(t ))dt20On consid`ere les applications f : I 7→R, pour n ∈N, d´efinies par f = 1 (application constante ´egale `an 01) et:xZ1 2∀n∈N,∀x∈ I, f (x) = 1+ (f (t)+f (t ))dtn+1 n n201.(a) Montrer que, pour tout n∈N, f est une application polynomiale.n2 3x x(b) V´erifier que, pour tout x∈ I, f (x) = 1+x et f (x) = 1+x+ + , et calculer f (x).1 2 34 6×2. Pour tout n∈N , la fonction continue |f −f | admet une borne sup´erieure sur I.n n−1On note D = sup|f (x)−f (x)|.n n n−1x∈I(a) Calculer D et D .1 21×(b) Montrer: ∀n∈N ,∀x∈ I, |f (x)−f (x)|≤ D .n+1 n n21 1On pourra ´etudier s´epar´ement les cas x∈ [0; ] et x∈ [− ;0].2 21×(c) En d´eduire: ∀n∈N , D ≤ .n n2P´(d) Etablir la convergence de la s´erie D .nn≥1PEn d´eduire que, pour tout x fix´e dans I, la s´erie (f (x)−f (x)) converge.n n−1n≥1´3. Etablir que, pour tout x fix´e dans I, la suite (f (x)) converge.n n∈NOn d´efinit ainsi une application f : I 7→R par: ∀x∈ I,f(x) = lim f (x).nn→+∞14. On note, pour tout n∈N, M = sup|f (x)|.n nx∈I1×(a) ...
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Programme ESC d’E.M.LYON CONCOURS D’ENTREE 2001
MATHEMATIQUES 1e`ree´preuve(optionscientique)
Lescandidatsnedoiventpasfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel ´electroniqueestinterdite. Seulelutilisationdunere`glegradue´eestautoris´ee.
Proble`me1 1 1 On noteI= [; ]. 2 2 Lebutduproble`meestlaconstructionduneapplicationf:I7→R, continue et telle que: x Z 1 2 xI, f(x) = 1 +(f(t) +f(t))dt 2 0 Onconside`relesapplicationsfn:I7→R, pournNd´eniesrap,f0ga´eteanstonnciotacilppa(1=ela` 1) et: x Z 1 2 nN,xI, fn+1(x) = 1 +(fn(t) +fn(t))dt 2 0 1. (a) Montrerque, pour toutnN,fnest une application polynomiale. 2 3 x x (b)V´erierque,pourtoutxI, f1(x) = 1 +xetf2(x) = 1 +x+ +, et calculerf3(x). 4 6 × 2. PourtoutnN, la fonction continue|fnfn1|aroenus´pmdtenubeurerieuresI. On noteDn= sup|fn(x)fn1(x)|. xI (a) CalculerD1etD2. 1 × (b) Montrer:nN,xI,|fn+1(x)fn(x)| ≤Dn. 2 1 1 Onpourra´etudierse´par´ementlescasx[0; ]etx[; 0]. 2 2 1 × (c)Ende´duire:nN, Dn. n 2 P ´ (d)Etablirlaconvergencedelase´rieDn. n1 P End´eduireque,pourtoutx´xnadesIeri(,l´easfn(x)fn1(x)) converge. n1 ´ 3. Etablirque, pour toutxxe´adsnI, la suite (fn(x))nNconverge. Onde´nitainsiuneapplicationf:I7→Rpar:xI,f(xlim) =fn(x). n+1
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