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Programme ESC d’E.M.LYON CONCOURS D’ENTREE 2001
MATHEMATIQUES 1e`ree´preuve(optionscientique)
Lescandidatsnedoiventpasfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel ´electroniqueestinterdite. Seulelutilisationdunere`glegradue´eestautoris´ee.
Proble`me1 1 1 On noteI= [; ]. 2 2 Lebutduproble`meestlaconstructionduneapplicationf:I7→R, continue et telle que: x Z 1 2 xI, f(x) = 1 +(f(t) +f(t))dt 2 0 Onconside`relesapplicationsfn:I7→R, pournNd´eniesrap,f0ga´eteanstonnciotacilppa(1=ela` 1) et: x Z 1 2 nN,xI, fn+1(x) = 1 +(fn(t) +fn(t))dt 2 0 1. (a) Montrerque, pour toutnN,fnest une application polynomiale. 2 3 x x (b)V´erierque,pourtoutxI, f1(x) = 1 +xetf2(x) = 1 +x+ +, et calculerf3(x). 4 6 × 2. PourtoutnN, la fonction continue|fnfn1|aroenus´pmdtenubeurerieuresI. On noteDn= sup|fn(x)fn1(x)|. xI (a) CalculerD1etD2. 1 × (b) Montrer:nN,xI,|fn+1(x)fn(x)| ≤Dn. 2 1 1 Onpourra´etudierse´par´ementlescasx[0; ]etx[; 0]. 2 2 1 × (c)Ende´duire:nN, Dn. n 2 P ´ (d)Etablirlaconvergencedelase´rieDn. n1 P End´eduireque,pourtoutx´xnadesIeri(,l´easfn(x)fn1(x)) converge. n1 ´ 3. Etablirque, pour toutxxe´adsnI, la suite (fn(x))nNconverge. Onde´nitainsiuneapplicationf:I7→Rpar:xI,f(xlim) =fn(x). n+1