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E.M.Lyon2002.Premi`ere´epreuve,optionscientique. PROBLEME 1 On note, pour tout entierp1 : Z p+1 1 1 up=dt p t p et, pour tout entiern1 : n X an=up=u1+∙ ∙ ∙+un p=1 ´ Partie I :Etude de la suite(an)n1 1 1 1)Montrer, pour tout entierp01 :up≤ −. p p+ 1 2)(etiusaleuireq´eduEndan)n1n,lee´toveonevrgsuer´enrtceentsaisrotcesγ, tel que 0γ1. PartieII:Expressioninte´graledur´eelγ. x ´ 1)a)rilbatEuotruop,eltr´ex+: 1xe . b)e´udEdnopruri,eretuotitnentte1trouel´ettel que 0tn: tn n t tt 1 +1e et− ≤e n n 2    tntn tt puis :1e1− ≤e . 2 n n ´ 2)a)Etablir, pour tout entiernutr´eeetlto1x1] :de [0; n (1x) +nx10 b)En utilisant1.b.et2.a., montrer, pour tout entiern´reel1ettoutttel que 0tn: 2   tnt tt 0e1− ≤e n n 3)a)On note, pour tout entiern1 : Z n   1tn t In= e1dt. t n 0 Justifier l’existence deIn. ´ b)Etablir queIntend vers 0 lorsquentend vers l’infini. ´ 4)a)Etablir, pour tout entiern1 : n1Z n X tk  1dt=n an+ ln(n+ 1) n 0 k=0 On note, pour tout entiern1 : Z n   1tn Jn= 11dt. t n 0 Justifier l’existence deJn, et montrer, pour tout entiern1 : Jn=an+ ln(n+ 1). Z Z 1t+∞ −t 1e e 5)On note :U= dtetV= dt. t t 0 1 a)Justifier l’existence deUet deV. b)De´omtnrer:γ=UV.