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E.M.Lyon. Math 1 . Option S. 2003
PROBLEME 1
Onconside`relapplicationϕ+: [0;[Rnie,d´eottuoprul´reet[0; +[, par : ( sint sit6= 0 ϕ(t) = t 1 sit= 0 etonconsid`ere,pourtoutentiern>rge´selael,1tnis: Z ZZ +1 + n n n In=ϕ(t) dt, Jn=ϕ(t) dt, Kn=ϕ(t) dt 0 01 PartieI:Re´sultatsge´n´erauxsurϕetJn 1)Montrer queϕ+est continue sur [0;[ et que, pour tout entiern>1l,gr´entiealJnexiste. 2)a)Montrer queϕ1] et queest strictement positive sur [0;ϕoicranssenem´etdtststciretuser [0; 1]. ´ b)urtoutr´ablir,potEleet]0,+[ :|ϕ(t)|<1. 3)a)ertronMlerte´truop,uot[0; +[ :ϕ(t)>1t. 2 (Onpourra´etudierlesvariationssur[0;+[ de l’applicationt7→sintt+t). 1 b)End´eduirep,uotruoettneirn>1 :Jn>. n+ 1 ´ Partie II : Etude deI1 Z Z x x sintcosxcost 1)a)ruot,roptneroMeelutr´x[1; +d[ :t1= cos− −dt. 2 t xt 1 1 b)deiueruqnE´degraleselesint´K1etI1sont convergentes.   1 2 2)a)tMoourrpeonrt,leer´utt[0; +[ :|sint|>sint= 1cos(2t) . 2 Z +cos(2t) b)Mnouqldertrentigr´eealtconverge. 2t 1 c)edxuuqseitnops´rD´eduiredesealgr´entileuqsetnede´ceI1n’est pas absolument convergente.
´ Partie III : Etude deIn, pourn>2
1)a)Montrer que, pour tout entiern>int´egrale2,lKnest convergente. 1 ´ b)Etablir, pour tout entiern>2 :|Kn|6 n1 2)a)Montrer que la suite (Jn)n>2e.ntsaorsi´dceets b)Montrer que la suite (Jn)n>2on noteconverge ;`sa limite. ´ c)Etablir, pour tout entiern>tt2etrouel´ea:]0; 1[ Z Z a1  n n n ϕ(t) dt6aetϕ(t) dt6(1a)ϕ(a) 0a (On pourra utiliser I.2.). d)uotre´rteriuuop,Enedd´ela: 0]0; 1[6`6aet conclure :`= 0. 3)a)Montrer que, pour tout entiern>l,2ale´egrintInest convergente. ´ b)limEtablir :In= 0. n+