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EML 2003 mathematiques classe prepa hec (ecs)

3 pages
6E.M.Lyon. Math 1 . Option S. 2003PROBLEME 1On consid`ere l’application ϕ : [0;+∞[→R d´efinie, pour tout r´eel t∈ [0;+∞[, par :(sintsi t = 0ϕ(t) =t1 si t = 0et on consid`ere, pour tout entier n> 1, les int´egrales :Z Z Z+∞ 1 +∞ n n nI = ϕ(t) dt, J = ϕ(t) dt, K = ϕ(t) dtn n n0 0 1Partie I : R´esultats g´en´eraux sur ϕ et Jn1) Montrer que ϕ est continue sur [0;+∞[ et que, pour tout entier n> 1, l’int´egrale J existe.n2)a)Montrer que ϕ est strictement positive sur [0;1] et que ϕ est strictement d´ecroissante sur[0;1].´b)Etablir, pour tout r´eel t∈]0,+∞[ : |ϕ(t)| < 1.3)a)Montrer, pour tout r´eel t∈ [0;+∞[ : ϕ(t)> 1−t.2(On pourra ´etudier les variations sur [0;+∞[ de l’application t7→ sint−t+t ).1b)En d´eduire, pour tout entier n> 1 : J > .nn+1´Partie II : Etude de I1Z Zx xsint cosx cost1)a)Montrer, pour tout r´eel x∈ [1;+∞[ : dt = cos1− − dt.2t x t1 1b)En d´eduire que les int´egrales K et I sont convergentes.1 1122)a)Montrer, pour tout r´eel t∈ [0;+∞[ : |sint|> sin t = 1−cos(2t) .2Z +∞ cos(2t)b)Montrer que l’int´egrale dt converge.2t1c) D´eduire des deux questions pr´ec´edentes que l’int´egrale I n’est pas absolument convergente.1´Partie III : Etude de I , pour n> 2n1)a)Montrer que, pour tout entier n> 2, l’int´egrale K est convergente.n1´b)Etablir, pour tout entier n> 2 : |K |6nn−12)a)Montrer que la suite (J ) est d´ecroissante.n n>2b)Montrer que la suite (J ) converge; on note ‘ sa limite.n n>2´c) Etablir, pour tout entier n> ...
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E.M.Lyon. Math 1 . Option S. 2003
PROBLEME 1
Onconside`relapplicationϕ+: [0;[Rnie,d´eottuoprul´reet[0; +[, par : ( sint sit6= 0 ϕ(t) = t 1 sit= 0 etonconsid`ere,pourtoutentiern>rge´selael,1tnis: Z ZZ +1 + n n n In=ϕ(t) dt, Jn=ϕ(t) dt, Kn=ϕ(t) dt 0 01 PartieI:Re´sultatsge´n´erauxsurϕetJn 1)Montrer queϕ+est continue sur [0;[ et que, pour tout entiern>1l,gr´entiealJnexiste. 2)a)Montrer queϕ1] et queest strictement positive sur [0;ϕoicranssenem´etdtststciretuser [0; 1]. ´ b)urtoutr´ablir,potEleet]0,+[ :|ϕ(t)|<1. 3)a)ertronMlerte´truop,uot[0; +[ :ϕ(t)>1t. 2 (Onpourra´etudierlesvariationssur[0;+[ de l’applicationt7→sintt+t). 1 b)End´eduirep,uotruoettneirn>1 :Jn>. n+ 1 ´ Partie II : Etude deI1 Z Z x x sintcosxcost 1)a)ruot,roptneroMeelutr´x[1; +d[ :t1= cos− −dt. 2 t xt 1 1 b)deiueruqnE´degraleselesint´K1etI1sont convergentes.   1 2 2)a)tMoourrpeonrt,leer´utt[0; +[ :|sint|>sint= 1cos(2t) . 2 Z +cos(2t) b)Mnouqldertrentigr´eealtconverge. 2t 1 c)edxuuqseitnops´rD´eduiredesealgr´entileuqsetnede´ceI1n’est pas absolument convergente.
´ Partie III : Etude deIn, pourn>2
1)a)Montrer que, pour tout entiern>int´egrale2,lKnest convergente. 1 ´ b)Etablir, pour tout entiern>2 :|Kn|6 n1 2)a)Montrer que la suite (Jn)n>2e.ntsaorsi´dceets b)Montrer que la suite (Jn)n>2on noteconverge ;`sa limite. ´ c)Etablir, pour tout entiern>tt2etrouel´ea:]0; 1[ Z Z a1  n n n ϕ(t) dt6aetϕ(t) dt6(1a)ϕ(a) 0a (On pourra utiliser I.2.). d)uotre´rteriuuop,Enedd´ela: 0]0; 1[6`6aet conclure :`= 0. 3)a)Montrer que, pour tout entiern>l,2ale´egrintInest convergente. ´ b)limEtablir :In= 0. n+
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