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EML 2004 mathematiques classe prepa hec (ece)

3 pages
MATHEMATIQUES E.M.LYON Voie Eco 2004PREMIER EXERCICEOn consid`ere l’application f :R→R d´efinie, pour tout t∈R par :t2ef (t) =√21+t1. Dresser le tableau de variation de f surR comprenant les limites de f en−∞ et en +∞.√t 2 2´2. a) Etablir, pour tout t∈ [0,+∞[ : 2e −t−t > 0 et 1+t≥ 1+tb) En d´eduire:∀t∈ [0,+∞[, f (t)>t3. On consid`ere la suite r´eelle (u ) d´efinie par u = 1 et, pour tout n∈N :n 0n≥0u =f (u )n+1 n´a) Etablir que u tend vers +∞ lorsque n tend vers +∞.n6´b) Ecrire un programme en Pascal qui calcule et affiche le plus petit entier n tel que u > 10n4. On consid`ere l’application G :R→R d´efinie, pour tout x∈R par :Z +xG(x) = f (t)dt−xa) Montrer que G est impaire.1 0b) Montrer que G est de classe C surR et calculer G (x) pour tout x∈R.c) Quelle est la limite de G(x) lorsque x tend vers +∞ ?´d) Etudier le sens de variation de G et dresser le tableau de variation de G surR comprenant leslimites de G en−∞ et en +∞.`DEUXIEME EXERCICEOn note M (R) l’espace vectoriel r´eel des matrices carr´ees d’ordre trois a` ´el´ements r´eels, I la matrice3identit´e deM (R), 0 la matrice nulle deM (R).3 3On consid`ere, pour toute matrice A deM (R), les ensembles E (A) et E (A) suivants :3 1 2E (A) = {M∈M (R);AM =M}1 3 2E (A) = M∈M (R);A M =AM2 3Partie I1. Montrer que E (A) est un sous-espace vectoriel deM (R)1 3On admettra que E (A) est aussi un sous-espace vectoriel deM (R)2 3´2. a) Etablir : E (A)⊂E (A)1 2b) Montrer que, si A est inversible, ...
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MATHEMATIQUES E.M.LYON Voie Eco 2004
PREMIER EXERCICE Onconside`relapplicationf:RR,eopeintud´ruottRpar : t 2e f(t) =2 1 +t 1. Dresserle tableau de variation defsurRcomprenant les limites defen−∞et en +. ´ t2 2 2. a)Etablir, pour toutt[0,+[ :2ett >1 +0 ett1 +t b)End´eduire: t[0,+[, f(t)> t 3.Onconside`relasuitere´elle(uneiapr)d´enu0= 1 et, pour toutnN: n0 un+1=f(un) ´ a) Etablirqueuntend vers +lorsquentend vers +. 6 ´ b) Ecrireun programme en Pascal qui calcule et affiche le plus petit entierntel queun>10 4.Onconside`relapplicationG:RRtrtou,pouneide´xRpar : Z +x G(x) =f(t)dt x a) MontrerqueGest impaire. 10 b) MontrerqueGest de classeCsurRet calculerG(x) pour toutxR. c) Quelleest la limite deG(x) lorsquextend vers +? ´ d) Etudierle sens de variation deGet dresser le tableau de variation deGsurRcomprenant les limites deGen−∞et en +. ` DEUXIEME EXERCICE On noteM3(Rsedrre´teorrordesmaeeldescatriccevecaps´rleirote)lslee,`aisl´´eenemr´tsIla matrice identit´edeM3(R),0 la matrice nulle deM3(R). Onconside`re,pourtoutematriceAdeM3(R), les ensemblesE1(A) etE2(A) suivants : E1(A) ={M∈ M3(R) ;A M=M}   2 E2(A) =M∈ M3(R) ;A M=AM Partie I 1. MontrerqueE1(A) est un sous-espace vectoriel deM3(R) On admettra queE2(A) est aussi un sous-espace vectoriel deM3(R) ´ 2. a)Etablir :E1(A)E2(A) b) Montrerque, siAest inversible, alorsE1(A) =E2(A) EML-2004-e Page1/ 3
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