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EML 2004 mathematiques classe prepa hec (ecs)

4 pages
EML 2004, math 1, option scientifiquePROBLEME 1Z +∞sintPartie I : Etude de la fonction x7−→x dtt+x0On note F :]0;+∞[−→R et G :]0;+∞[−→R les applications d´efinies, pour tout r´eel x∈]0;+∞[par :Z Zx xsinu cosuF(x) = du et G(x) = duu u1 1Z xcosx cosu1)a)Montrer, pour tout r´eel x∈]0;+∞[ : F(x) =− +cos1− du.2x u1En d´eduire que F admet une limite finie en +∞. On note α cette limite.b)De mani`ere analogue, montrer que G admet une limite finie en +∞. On note β cette limite.Z Z+∞ +∞sinu cosuc) En d´eduire que, pour tout r´eel x ∈]0;+∞[, les int´egrales du et duu ux xZ Z+∞ +∞sinu cosuconvergent, et que : du =α−F(x) et du =β−G(x).u ux x2)a)Montrer, pour tout r´eel x∈]0;+∞[ et tout r´eel T ∈]0;+∞[ :Z Z ZT x+T x+Tsint sinu cosudt = cosx du−sinx dut+x u u0 x xZ +∞sintb)En d´eduire que, pour tout r´eel x∈]0;+∞[, l’int´egrale dt converge et que :t+x0Z Z Z+∞ +∞ +∞sint sinu cosudt = cosx du−sinx dut+x u u0 x xOn note A :]0;+∞[7−→R l’application d´efinie, pour tout r´eel x∈]0;+∞[, par :Z +∞sintA(x) = dtt+x023) Montrer que l’application A est de classe C sur ]0;+∞[ et que, pour tout r´eel x∈]0;+∞[ :100A (x)+A(x) =x0´4) Etablir que A(x) et A (x) tendent vers 0 lorsque x tend vers +∞.Z 1cosu5)a)Montrer : ∀x∈]0;1], 06 du6−lnxuxZ +∞cosub)En d´eduire que sinx du tend vers 0 lorsquex tend vers 0 par valeurs strictementuxpositives.Z Z+∞ +∞sinu sinuc) Montrer que l’int´egrale du converge, et´etablir queA(x) tend vers duu u0 0lorsque x tend ...
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EML 2004, math 1, option scientifique
PROBLEME 1
Z +sint Partie I :Etude de la fonctionx7xdt t+x 0 On noteF:]0; +[−→RetG:]0; +[−→R,sopruotdse´neiutr´eelppaselnoitacilx]0; +[ par : Z Z x x sinucosu F(x) =duetG(xd) =u u u 1 1 Z x cosxcosu 1)a)rep,nortM´eeloutrourtx]0; +[ :F(x) =+ cos 1du. 2 x u 1 Ende´duirequeFadmet une limite finie en +. On noteαcette limite. b)uqrertnoeanre`eni,mueogaleDamGadmet une limite finie en +. On noteβcette limite. Z Z ++sinucosu c)uttoeer´e,quurpode´deriulnEx]0; +´egrales,[elistnduet du u u x x Z Z ++sinucosu convergent, et que :du=αF(xd) etu=βG(x). u u x x 2)a)lMontopruer,r´reeottux]0; +lee´troutt[eT]0; +[ : Z ZZ T x+T x+T sintsinucosu dt= cosxdusinxdu t+ux u 0x x Z +sint b)e´leunodrtEude´qerip,eutruox]0; +[degralnt´e,litconverge et que : t+x 0 Z ZZ +++sintsinucosu dt= cosxdusinxdu t+ux u 0x x
On noteA:]0; +[7Ree´rtuotleppd´aconaltiiurpoe,lnix]0; +[, par : Z +sint A(xd) =t t+x 0 2 3)Montrer que l’applicationAest de classeCsur ]0;+ruottu´reel[etque,pox]0; +[ : 1 00 A(x) +A(x) = x ´ 0 4)Etablir queA(x) etA(x) tendent vers 0 lorsquextend vers +. Z 1 cosu 5)a)Montrer :x]0; 1],06du6lnx u x Z +cosu b)irequesinEnd´eduxdutend vers 0 lorsquextend vers 0 par valeurs strictement u x positives. Z Z ++sinusinu c)rerqMontdelgearni´teulurgveonceuqrilbate´te,eA(x) tend versdu u u 0 0 lorsquextend vers 0 par valeurs strictement positives.
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