7 jours d'essai offerts
Cet ouvrage et des milliers d'autres sont disponibles en abonnement pour 8,99€/mois
EML2005,math1,option´economique
EXERCICE 1 Onconside`relese´l´ementssuivantsdeM3(R) :      1 0 00 1 00 0 1      I1 0= 0, J= 00 1, K= 00 0 0 0 10 0 00 0 0 On noteEle sous-espace vectoriel deM3(Rrdneape´rgne)I,JetK. 0 Pour toute matriceMdeE, on noteM=I, et siMest inversible, on note, pour tout entier k1k kk1k naturelk,M= (M) ,et on rappelle qu’alorsMest inversible et que (M) =M. 1)idalrenidnoisnemermte´eDE. 2 2 2)CalculerJ,J K,KJetK. 3)Soit la matriceL=I+J. a)Montrer, pour tout entier natureln: n(n1) n L=I+nJ+K 2 b)euqreire´VLest inversible et montrer, pour tout entier relatifn: n(n1) n L=I+nJ+K 2 n2 c)Exprimer, pour tout entier relatifn,Lediala`edI,L,Letn.   0 2–1   3 Onconsid`erelamatriceAde0 1= 1M3(R) et on notefl’endomorphisme deR 2 –33 3 3 repr´esente´parlamatriceAdans la base canonique deRetel’application identique deRdans lui-mˆeme. 4)Montrer quefra.mineleuqelurete´dnoprrorpeusenetueeunetalevdma Est-ce quef?est diagonalisable 5)a)Soitw= (1,0,0). Calculerv= (fe)(w) etu= (fe)(v). 3 Montrer que (u, v, w) est une base deR. b)a´ee`osicecsatairlrmanemieretD´fvemelatire(esa`tnabalu, v, w). 3n c)Montrer quefest un automorphisme deRet, pour tout entier relatifn, exprimerf`a 2 l’aide dee,f,fetn.
EXERCICE 2 Onconside`relapplicationf:RRel´etrourtp,uoneid,e´t, par : ( 0 sit60 1 f(t) = sit >0 2 (1 +t) 1)rTcarelalluredelacourerebe´rptnesvitaeedf. 2)Montrer quefutensetie´edsnobabdepr´e.ilit Z x 3)rertnoMruop,euqeer´uttolxngtr´iee,lalf(t) dtte,eclacnocgrevla.eeint´egrulercett −∞ On distinguera les casx60etx >0. Z α 1 4)rnurenimrete´Dtifposi´eelαtel quef(t) dt= . 2 0 5)Soitx[0,+e.´x[ Z x+u Onconsid`erelafonctionϕxesur[0;+´dein[ par :u[0,+[, ϕx(u) =f(t) dt. xu