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Programme ESC dE.M.LYON
CONCOURS DENTREE 2005
MATHEMATIQUES 1ère épreuve (option scientique)
Les candidats ne doivent pas faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Premier problème. On considère la suite(Tn)n2Nde polynômes deR[X]dénie par : T0= 1; T1= 2Xet, pour tout entiern>2; Tn= 2XTn1Tn2: On pourra confondre polynôme et fonction polynomiale.Ainsi, pour tout entiern>2et tout réelx, Tn(x) = 2xTn1(x)Tn2(x):
PARTIE I : Etude de la suite de polynômes(Tn)n2N 1. CalculerT2etT3. 2. (a)Démontrer que, pour tout entier natureln,Tnest un polynôme de degréndont on déterminera le coe¢ cient du terme de degrén. (b) Etablirque, sinimpair), alorsest un entier pair (resp.Tnimpair).est un polynôme pair (resp. 3. Calculer,pour tout entier natureln,Tn(1)en fonction den. sin(n+ 1)4. (a)Etablir, pour tout entier naturel n et tout réelde]0; [:Tn(cos) =. sin(b) En déduire que, pour tout entier naturel non nuln,Tnadmet n racines réelles, toutes situées dans ]1;1[, que lon explicitera.   n Qk n (c) Etablir,pour tout entier naturel non nuln:Tn= 2Xcos. n+ 1 k=1 n Qk (d) Endéduire, pour tout entier naturel non nul n, la valeur desinen fonction den. 2 (n+ 1) k=1 5. (a)Démontrer, pour tout entier naturel n et tout réelde]0; [: 200 02 sin T(cos)3 cos T(cos) + (n+ 2n)Tn(cos) = 0: n n Indication: Onpourra dériver deux fois la fonction (nulle):7!sin Tn(cos)sin(n+ 1): 200 02 (b) Endéduire, pour tout entier natureln:(X1)T+ 3XTn n(n+ 2n)Tn= 0. Dans la suite du problème,ndésigne un entier naturel xé tel quen>2, et on noteElespace vectoriel réel des polynômes deR[X]de degré inférieur ou égal àn. On noteLlapplication qui, à un polynômePdeE, associe le polynômeL(P)déni par : 200 0 L(P) = (X1)P+ 3XP :
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