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Programme ESC dE.M.LYON
CONCOURS DENTREE 2006
MATHEMATIQUES
1ère épreuve (option scientique)
Les candidats ne doivent pas faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Problème I Préliminaires   21 nt 1. (a)Justier, pour toutn2N:t e=o. 2 t t!+1 +1 Z 2 nt (b) Montrerque, pour toutn2N, lintégralet edtest convergente. 1 +1 Z 2 t 2. Endéduire que, pour tout polynômePdeR[X], lintégraleP(t)e dtconverge. 1 +1 Z 2p t On admet dans tout le problème :e dt=. 1 +1 Z 2 nt On note, dans tout le problème, pour toutn2N:In=dtt e. 1 n+ 1 3. (a)tablir, à laide dune intégration par parties, pour toutn2N:In+2=In. 2 (b) Montrer,pour toutp2N:I2p+1= 0. (2p)!p (c) Montrer,pour toutp2N:I2p=. 2p 2p! I. Recherche dextrémums locaux pour une fonction de deux variables réelles 2 2 On noteF:R!Rlapplication dénie, pour tout(x; y)2R, par : +1 Z 12 2 2t F(x; y) =p(tx) (ty)e dt 1 3 1 2 22 22 1. Montrer,pour tout(x; y)2R:F(x; y) =+ (x+ 4xy+y) +x y. 4 2 2 2. Calculer les dérivées partielles premières deFen tout point(x; y)deR, et en déduire les trois points critiques deF.
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