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E.P.I.T.A. - Concours2005
Option - durée 2h
” ” Dans ce problème, le plan est rapporté à un repère orthonormé directH0;i,jL. On considère dans ce contexte : - le cercle!centré enWH8, 0Let de rayon=8. - la droite"d'équationx=2. = - une droite"tpassant par l'origine, d'équationxy ttdésigne un paramètre réel. Dans la suite, on représentera sur une même figure les résultats obtenus au fil des questions. Cette figure fera apparaître seulement le demi-planx0 et elle sera construite avec soin sur une feuille séparée en choisissant (approximativement)pour unité 1cm.
1°)Introduction a) Déterminer une équation cartésienne du cercle!. les coordonnées des points d'intersection de!et".  OnnoteraAetBces deux points en supposant queAest celui d'ordonnée positive.  Représentersur la figure le cercle!, la droite"et les pointsAetB. " " c) Déterminer les coordonnées dePHtLet de, point d'intersection det. H L!  Déterminerles coordonnées deQ t, point d'intersection (distinct deO) deet de"t d) En déduire les coordonnées du milieu du segment@PHtL,QHtLD.  Déterminerles valeurs du paramètretpour lesquelles ce milieu est égal àAouB.
On se propose maintenant d'étudier la courbe paramétréeG:töMHtLdéfinie par : 2 2 t+9tHt+9L xHtL= ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ;yHtL= ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ. 2 2 t+1t+1
2°)Etude des variations des fonctions x et y a) ComparerH-tLetxHtL,yH-tLetyHtL.  Qu'endéduit-on géométriquement pour la courbeG? les limites deHtLetyHtLquandttend vers +.  Qu'endéduit-on pour les branches infinies de la courbeG? £ £ c) CalculerHtLetyHtLet étudier le signe de ces fonctions.  Endéduire les coordonnées des pointsUetVoù la tangente est horizontale.  OnnoteraUetVces deux points en supposant queUest celui d'ordonnée positive.  Endéduire les coordonnées du pointIoù la tangente est verticale. d) Dresser un tableau de variation commun aux fonctionsxetypourt0.
3°)Construction de la courbeG a) Représenter les pointsI,U,V, leurs tangentes et la branche infinie deGsur la figure. avec soin la courbe représentative deGsur la figure.