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E.P.I.T.A. - Concours2005
Option - durée 2h
” ” Dans ce problème, le plan est rapporté à un repère orthonormé directH0;i,jL. On considère dans ce contexte : - le cercle!centré enWH8, 0Let de rayon=8. - la droite"d'équationx=2. = - une droite"tpassant par l'origine, d'équationxy ttdésigne un paramètre réel. Dans la suite, on représentera sur une même figure les résultats obtenus au fil des questions. Cette figure fera apparaître seulement le demi-planx0 et elle sera construite avec soin sur une feuille séparée en choisissant (approximativement)pour unité 1cm.
1°)Introduction a) Déterminer une équation cartésienne du cercle!. les coordonnées des points d'intersection de!et".  OnnoteraAetBces deux points en supposant queAest celui d'ordonnée positive.  Représentersur la figure le cercle!, la droite"et les pointsAetB. " " c) Déterminer les coordonnées dePHtLet de, point d'intersection det. H L!  Déterminerles coordonnées deQ t, point d'intersection (distinct deO) deet de"t d) En déduire les coordonnées du milieu du segment@PHtL,QHtLD.  Déterminerles valeurs du paramètretpour lesquelles ce milieu est égal àAouB.
On se propose maintenant d'étudier la courbe paramétréeG:töMHtLdéfinie par : 2 2 t+9tHt+9L xHtL= ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ;yHtL= ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ. 2 2 t+1t+1
2°)Etude des variations des fonctions x et y a) ComparerH-tLetxHtL,yH-tLetyHtL.  Qu'endéduit-on géométriquement pour la courbeG? les limites deHtLetyHtLquandttend vers +.  Qu'endéduit-on pour les branches infinies de la courbeG? £ £ c) CalculerHtLetyHtLet étudier le signe de ces fonctions.  Endéduire les coordonnées des pointsUetVoù la tangente est horizontale.  OnnoteraUetVces deux points en supposant queUest celui d'ordonnée positive.  Endéduire les coordonnées du pointIoù la tangente est verticale. d) Dresser un tableau de variation commun aux fonctionsxetypourt0.
3°)Construction de la courbeG a) Représenter les pointsI,U,V, leurs tangentes et la branche infinie deGsur la figure. avec soin la courbe représentative deGsur la figure.
4°)Condition d'alignement de points de la courbeG On considère trois points distincts deG, de paramètrest1,t2,t3. a) En remarquant que trois tels points ne peuvent être alignés sur une droite verticale, établir l'équivalence des trois conditions suivantes : H LH LL - lestrois pointst1,M t2,MHt3sont alignés. 2 H Le!" =H L=H L+ - ilexistem,htel que :i1, 2, 3:y tim x tih. 2 32 il existeHm,hLe!tel que :-" =Hm+ -H + -i1, 2, 3:tihLt+9ti9m hL=0. i que cette dernière condition équivaut aussi à l'existence d'un coupleHm,hLtel que : 3 2 LH-- =H+L+ + 1X t2LHX-h XX m9X HX-t t3L H9m+hL. L HL Ht1L,MHt2,M t3sont alignés. c) En déduire à quelle condition surt1,t2,t3les points
5°)Calculs d'aires p Pour tout pointHx,yLdu demi-plan>0, on posex=rcosHqL,y=rsinHqLavecq§< ÅÅÅÅ. 2 a) Montrer, lorsque=MHtL, que tanHqL=tet qu'une équation polaire deGest 9cosHqL+sinHqL r= ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ. cosq désigne par#le domaine borné délimité par la courbeGet les deux droitesOUetOV. Montrer que son aire$est égale à l'intégrale suivante : p ÅÅÅÅÅ 2 22 3 1 9cosHqL+sinHqL $= ÅÅÅÅJÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅNdq. 2pcosHqL - ÅÅÅÅÅ En déduire la valeur de l'aire$du domaine#. c) Expliciter, sous la former=fHqLla droite asymptote de, une équation polaire deG. d) En déduire que l'aire du domaine borné#HaLcompris entre la courbeG, son asymptote et p les deux droites d'angles polaires –aeta(avec 0< a <ÅÅÅÅ) est égale à l'intégrale suivante : 2 a2 2 I9cosHqL+sinHqLM-1 1 $HaL= ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅdq. 2 2 cosHqL -a p Etudier si cette intégrale admet ou non une limite finie lorsqueatend versÅÅÅÅ. 2 Déterminer celle-ci si elle existe.
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