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Esc 2003 mathematiques classe prepa hec (s) mathematiques 2003 classe prepa hec (s)

3 pages
g2. u0u2u0dun100p. ph222h0228210221g300p2212. 1111122n3n2n2p1201 .1n2n0np1. pn1121210gg11EXERCICE 1 f I R t ˛ I R , f ( t ) = t - tp ( + )p p ] [ q ˛] [ , ( q) = q) . p ] [ t = ( q) que f f . f X - . E ( ) . +¥- pt t dt . =+¥ +¥-pt -ptt t dt dt . =- t - tfi+¥+ +3. - ( + ) t+ + k - kt ˛ I t ˛ I R , = ( - ) + ( - ) . - t - t+ + k =Ø ø- ( + ) t+ + k - ( k + ) tŒ œ ˛ I et t ˛ I R f ( t ) = ( - ) + ( - ) . - tp Œ œ+ k =º ß+¥ k( - ) X ue ( X ) = . p ( + )k = et N . A = ) x x f , f ( ) = ( ) . A A B = - ) f , f ( ) = f ( - ) . B B Aæ C = A + B = Ł ł+¥ l'i f ( - ) f )) . B A-t = . X . suit la même loi que C Vérifier que C en déduire une densité de e En effectuant dans cette intégrale le changement de variable òuy (ln( ln ntégrale y Calculer pour tout réel strictement positif V÷ ç ln C la variable aléatoire à densité Soit (c)ö Ux x x telle que pour tout réel une densité able aléatoire à densité admettant est une vari V ln( Montrer que la variable aléatoire (b)e e x x telle que pour tout réel une densité est une variable aléatoire à densité admettant U ln( able aléatoire Montrer que la vari (a)V et de U une densité de ( 0 ; 1 ) . On note une loi normale centrée réduite deux variables aléatoires indépendantes définies sur le même espace probabilisé et suivant V U 4. Soient k å V ...
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EXERCICE 1 
On considère la fonctionf définie surIR tout Pourpar :tÎIR,f(t)=pt2+-t. (e e) 1. (a) Soit la fonctiongdéfinie sur] 0; 2p[par : tout Pourq Î] 0; 2p[ ,g(q)=ln(tanq).  Montrer queg est de classeC1sur] 0;p2 [et calculer sa dérivée.  (b) En déduire grâce au changement de variablet=g(q)quef est une densité de probabilité.  On note dans toute la suiteX une variable aléatoire admettant une densité égale à f.  (c) Montrer quefest paire , puis queX admet une espérance et que celle-ci est nulle.
2.Ce paragraphe établit des préliminaires au calcul de la variance deX.Soitp un entier naturel non nul.  (a) SoitY une variable aléatoire réelle suivant une loi exponentielle de paramètrep.  Donner l'espérance et la variance deY. En déduire l'espéranceE(Y2). On note=¥2d  (b)Jpò0+t e-ptt. Déduire du (a) la convergence et la valeur deJpen fonction dep. t t2e-pdtco  (c) Montrer que l'intégraleò01+e-2tnverge et quepl®imò01t+2ee--pt2tdt=0. 3.dans ce paragraphe la variance deOn exprime X à l'aide d'une série. nÎI pour tout. Montrer queÎIR+-+ - ++ -- (a) SoitN t,1+1e-2t=( 1)n1e1+2(ne-21t)tkån=0( 1)ke2kt. én+ -n+t n k-2k+1tù = ê ú pê-+åú- (b) En déduire que pournÎINettÎIR+ :f(t) 2ë( 1)1e1+(2e-32t)k=0( 1)e( )û.  Montrer finalement queXadmet une variance et que=8p+å¥(-1)k3  (c)V(X). k=0(2k+1)
4. SoientU etV deux variables aléatoires indépendantes définies sur le même espace probabilisé et suivant  une loi normale centrée réduiteN0 ; 1 ) . On note( h une densité deU et deV.  (a) Montrer que la variable aléatoireA=ln(U)est une variable aléatoire à densité admettant  une densitéfAtelle que pour tout réelx ,fA(x)=2exh(ex).  (b) Montrer que la variable aléatoireB= -ln(V)est une variable aléatoire à densité admettant  une densitéfBtelle que pour tout réelx ,fB(x)=fA(-x).
 
 
(c)
 
  
SoitC la variable aléatoire à densitéC=A+B=lnæèçVUöø÷. Calculer pour tout réel strictement positify l'intégraleò0u1fB(-lnu)fA(ln(uy))du. En effectuant dans cette intégrale le changement de variableu=e-ten déduire une densité deC. Vérifier queC suit la même loi queX.
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